Was ist der Nachweis der Varianz der Differenz zweier abhängiger Variablen?

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Ich weiß, dass die Varianz der Differenz zweier unabhängiger Variablen die Summe der Varianzen ist, und ich kann es beweisen. Ich möchte wissen, wohin die Kovarianz im anderen Fall führt.

— Ricky
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Wenn und abhängige Variablen mit Kovarianz sind , dann ist die Varianz ihrer Differenz gegeben durch Dies wird unter den grundlegenden Eigenschaften der Varianz auf http://en.wikipedia.org/wiki/Variance erwähnt . Wenn und zufällig nicht korreliert sind (was erst recht der Fall ist, wenn sie unabhängig sind), ist ihre Kovarianz Null und wir haben $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

V a r [X - Y] = V a r [X] + V a r [Y] - 2 C o v [X, Y]

$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$

X

$X$

Y

$Y$

V a r [X - Y] = V a r [X] + V a r [Y]

$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$

— StijnDeVuyst
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Sei und zwei Zufallsvariablen. Wir wollen zeigen, dass . $X$ $Y$ $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Definieren wir , also haben wir: . $Z:=-Y$ $Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$ , da $Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Wir haben auch , weil . $Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$ $Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Wenn wir alle Teile zusammenfügen, haben wir . $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

— scienceseba
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