wenn

Ich weiß, dass für die stetige Variable $P[X=x]=0$ .

Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass wenn $P[X=x]=0$ , es unendlich viele mögliche $x$ . Und warum werden ihre Wahrscheinlichkeiten unendlich klein?

— Zeit
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mögliches Duplikat der bedingten Wahrscheinlichkeit einer kontinuierlichen Variablen

— Xi'an

Es gibt bereits zwei Stimmen, um diese Frage als Duplikat zu schließen. Ich stimme nicht zu Dies ist ein ziemlich grundlegendes Thema, eines davon, das wahrscheinlich in Zukunft wieder auftauchen wird. Es wäre also gut, wenn es eine direkte und qualitativ hochwertige Antwort hätte, damit wir uns in Zukunft darauf beziehen könnten. Der von @ Xi'an bereitgestellte Link kann als Duplikat bedroht sein, ist aber auch sehr spezifisch und über die Suche schwer zu finden. Der Link bietet auch keine erschöpfende Antwort, während diese Bedrohung zu einer solchen zu konvergieren scheint. Ich denke, es sollte als zukünftige Referenz offen bleiben.

— Tim

Es könnte hilfreich sein, die Umkehrung dieser Situation zu berücksichtigen. Sei

eine beliebige Zufallsvariable und sei

eine beliebige positive reelle Zahl. Es kann nur eine endliche Anzahl von

für die

, da Sie sonst - wenn Sie alle diese Wahrscheinlichkeiten über disjunkte Ereignisse addieren - zu dem Schluss kommen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit mindestens

beträgt , die schließlich

überschreitet . (Dies ist die archimedische Eigenschaft reeller Zahlen.) Diese Argumentation verwendet nur drei Axiome

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$ : Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse addieren sich, die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt

und das archimedische Axiom.

1

$1$

— whuber

@Tim Vielen Dank, aber ich habe diesen Gedanken eher als Kommentar als als Antwort gepostet, da er unvollständig ist: Ich habe keinen elementaren Weg gefunden, um zu erklären, was im Limit als

passiert . Es scheint einige Kenntnisse der Kardinalitäten unendlicher Mengen zu erfordern.

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— whuber

@ Xi'an Ich stimme zu, aber der von Ihnen vorgeschlagene Thread ist kein ausreichend enges Duplikat. Dies ist eine schwierige Sache zu suchen. Kennen Sie vielleicht andere Threads, die diese Frage duplizieren?

— whuber

Antworten:

Wahrscheinlichkeiten sind Modelle für die relativen Häufigkeiten von Beobachtungen. Wenn beobachtet wird, dass ein Ereignis bei Versuchen mal aufgetreten ist , dann ist seine relative Häufigkeit die $A$ $N_A$ $N$ und es wird allgemein angenommen, dass der numerische Wert des obigen Verhältnisses eine enge Annäherung anwenn"groß" ist.

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$ wobei das, was mit "groß" gemeint ist, am besten der Vorstellungskraft (und Leichtgläubigkeit) des Lesers überlassen bleibt .

Nun wurde festgestellt , dass , wenn unser Modell von , dass einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist, dann werden die Proben von sind verschiedene Zahlen. Somit ist die relative Häufigkeit einer bestimmten Zahl (oder pedantischer das Ereignis ) entweder $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ wenn eines derden Wertoder $\frac 1N$ $x_i$ $x$ wenn allevonverschieden sind. Wenn ein skeptischerer Leser zusätzlicheAbtastwertesammelt , beträgtdie relative Häufigkeit des Ereignissesentweder $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ oder genießt weiterhin den Wert $\frac{1}{2N}$ . Man ist also versucht zu erraten, dassder Wertzugewiesen werden sollte,da dies eine gute Annäherung an die beobachtete relative Frequenz ist. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Anmerkung: Die obige Erklärung ist (normalerweise) für Ingenieure und andere, die an der Anwendung von Wahrscheinlichkeit und Statistik interessiert sind, zufriedenstellend (dh diejenigen, die glauben, dass die Wahrscheinlichkeitsaxiome so gewählt wurden, dass die Theorie ein gutes Modell der Realität ist), aber völlig unbefriedigend zu vielen anderen. Es ist auch möglich, Ihre Frage aus einer rein mathematischen oder statistischen Perspektive zu betrachten und zu beweisen, dass immer dann den Wert haben muss , wenn $P\{X = x\}$ $0$ $X$ ist eine kontinuierliche Zufallsvariable über logische Ableitungen von den Wahrscheinlichkeitsaxiomen und ohne Bezugnahme auf die relative Häufigkeit oder physikalische Beobachtungen usw.

— Dilip Sarwate
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+1 "Anmerkung: Die obige Erklärung ist ... zufriedenstellend für ... diejenigen, die glauben, dass die Axiome der Wahrscheinlichkeit gewählt wurden, um die Theorie zu einem guten Modell der Realität zu machen), aber völlig unbefriedigend ...", in der Internet bevorzugte Phrasierung, lol.

— Gung - Reinstate Monica

Ich verstehe nicht , was du meinst , indem es wurde beobachtet , dass , wenn stetig, so ... $X$ . Wie können wir das beobachten?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent Dieser Satz ist etwas kompliziert und muss erneut gelesen werden. Ohne einige Anmerkungen in Klammern heißt es: "Es wurde beobachtet, dass ... die Proben ...

verschiedene Zahlen sind." Mit anderen Worten, wenn man davon ausgeht , dass eine kontinuierliche Verteilung hat , dann (fast sicher) wird es keine Duplikate in jeder endlichen iid Probe seine

. Das kann mathematisch bewiesen werden: Es ist keine bloße Beobachtung.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Ich denke, Dilips Bemerkungen werden in einem anderen Geist gemacht. Diese Antwort ist kein Versuch, eine mathematisch strenge Demonstration zu liefern, sondern eine gewisse Intuition und Motivation für eine Tatsache zu liefern, die das OP verwirrt. Ich bin fasziniert von diesem Ansatz, weil er das Potenzial hat, die Lücke zwischen der traditionell Anfängern gelehrten diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie und der reichhaltigeren allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie auf der Grundlage der Maßtheorie zu schließen.

— whuber

@whuber Ich verstehe den Geist, aber auf den ersten Blick war ich nicht davon überzeugt, dass die No-Tie-Eigenschaft intuitiver ist als die Nullwahrscheinlichkeitseigenschaft. Für

ist das wirklich dasselbe: "

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

Sei der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum. Wir sagen, dass eine messbare Funktion eine absolut kontinuierliche Zufallsvariable ist, wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß über definiert ist durch , bekannt als die Verteilung von wird vom Lebesgue-Maß in dem Sinne dominiert , dass für jede Borel-Menge $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ , wenn $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ be a countable subset of $\mathbb{R}$ . Since $\lambda$ is countably additive, $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$ . But

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$ for every

n \geq 1

$n\geq 1$ . Due to the Archimedean property of the real numbers, since

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$ , the inequality

(*)

$(*)$ holds for every

n \geq 1

$n\geq 1$ if and only if

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , entailing that

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$ . From the assumed absolute continuity of

X

$X$ it follows that

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$ .

— Zen
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Continuous random variable doesn't need to be absolutely continuous (it could have no density.)

— Zhanxiong

Baloney. "Continuous random variable" is an informal name for "a random variable which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure". Hence, Radon-Nikodym guarantees that a density exists. A random variable with a singular distribution (e.g. Cantor) is a different thing. You're misleading potential students with your bogus comment.

— Zen

When you criticized someone, please show the citation you referred to. Which probability text book said that "Continuous random variable" is an informal name for "a random variable which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure"? In addition, this problem can be solved without requiring

X

$X$ has a density, see my proof below.

— Zhanxiong

Wikipedia disagrees with you, @Solitary: "A continuous probability distribution is a probability distribution that has a probability density function. Mathematicians also call such a distribution absolutely continuous [...]".

— amoeba says Reinstate Monica

$X$ is a continuous random variable means its distribution function $F$ is continuous. This is the only condition we have but from which we can derive that $P(X = x) = 0$ .

In fact, by continuity of $F$ , we have $F(x) = F(x-)$ for every $x \in \mathbb{R}^1$ , therefore:

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
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If the distribution of a r.v.

X

$X$ is Cantor, then its distribution function is continuous, but

X

$X$ is a singular random variable; it's not a continuous random variable.

— Zen

My friend, this actually can be a counterexample to your own answer, not mine. Since the existence of such Singular continuous r.v., it is necessary to distinguish absolute continuous r.v. and singular continuous r.v., although their distribution functions are all continuous. To equalize continuous r.v. and absolute continuous r.v. is ambiguous.

— Zhanxiong

It isn't, but you won't hear, my friend.

— Zen

By the way, you're actually "proving" that if

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$ for every

x

$x$ , then

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$ for every

x

$x$ .

— Zen