Obergrenze an

$X$ ist eine diskrete Zufallsvariable, die Werte von annehmen kann . Da eine konvexe Funktion ist, können wir Jensens Ungleichung verwenden, um eine Untergrenze abzuleiten : Ist es möglich, eine Obergrenze abzuleiten ? $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— Mike
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Überlegen Sie, was passiert, wenn X eine Obergrenze hat, die sich von unten 1 nähert. Betrachten Sie nun eine Verteilung mit 1 mit einer Dichte ungleich Null. Betrachten Sie nun eine diskrete Verteilung, bei der 1 eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hat. Vielleicht möchten Sie mit einigen Einschränkungen beginnen

— Glen_b - Monica

Eine Verallgemeinerung dieser Frage kann auf die Zufallsvariable

mit der Erwartung

angewendet werden , um die Antwort sofort zu erhalten: siehe stats.stackexchange.com/questions/141766 . Die dort vorgesehene Ungleichung ist eng: Das heißt, die Obergrenze ist erreichbar. Es liefert eine nützliche (nicht unendliche) Obergrenze, wenn das Supremum von

kleiner als

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— whuber

Es gibt keine Obergrenze.

Intuitiv wenn hat erhebliche Unterstützung entlang einer Folge nähert , dann könnte eine divergente haben (beliebig groß) Prognose. Um zu zeigen, dass es keine Obergrenze gibt, müssen wir nur eine Kombination aus Unterstützung und Wahrscheinlichkeiten finden, die die gewünschte Erwartung von . Die folgenden explizit konstruiert eine solche . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Angenommen, (später zu wählen) und (auch später zu wählen). Lassen Sie die Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

. Dann

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

$f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Abbildung des Zeta-Verhältnisses

$\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Erwägen

E. (\frac{1}{1 - - X.}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

Die Summe geht auseinander. Folglich stimmt keine Obergrenze mit den angegebenen Bedingungen überein.

— whuber
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