Verteilung des Maximums von zwei korrelierten Normalvariablen

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Angenommen, ich habe zwei normale Standard-Zufallsvariablen und , die gemeinsam mit dem Korrelationskoeffizienten normal sind . $X_1$ $X_2$ $r$

Was ist die Verteilungsfunktion von ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— Vendetta
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Verwandte: stats.stackexchange.com/questions/173064/… .

— StubbornAtom

22

Nach Nadarajah und Kotz, 2008 , exakte Verteilung der Max / Min von zwei Gaußschen Zufallsvariablen , scheint das PDF von zu sein $X = \max(X_1, X_2)$

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

Dabei ist die PDF-Datei und die CDF- Datei der Standardnormalverteilung. $\phi$ $\Phi$

$\hskip2in$ Bildbeschreibung hier eingeben

— Lucas
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Wie sieht das aus, wenn (überhaupt keine Korrelation)? Ich habe Probleme, es mir vorzustellen.

r = 0

$r = 0$

— Mitch

3

Ich habe eine Abbildung hinzugefügt, die die Verteilung visualisiert. Es sieht aus wie ein zusammengedrückter Gaußscher, der leicht nach rechts geneigt ist.

— Lucas

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Sei die bivariate Normale PDF für mit Standardrand und Korrelation . Der CDF des Maximums ist per Definition $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

Das bivariate Normal PDF ist symmetrisch (über Reflexion) um die Diagonale. Somit Erhöhen zu fügt zwei Streifen gleicher Wahrscheinlichkeit auf das ursprüngliche semiinfiniten Quadrat: infinitesimal dicken obere ist , während das reflektierte Gegenstück, das rechter Streifen ist . $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Zahl

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des rechten Streifens ist die Dichte von zum fachen der gesamten bedingten Wahrscheinlichkeit, dass im Streifen ist, $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

$Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y. \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

$y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

Das Verdoppeln dieses Wertes erklärt den höchstwahrscheinlichen oberen Streifen und ergibt das PDF des Maximums als

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y.) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

Reprise

$\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
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Kann dies auf mehr als zwei normale Standardvariablen mit gegebener Korrelationsmatrix erweitert werden?

— A. Donda

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@ A.Donda Ja - aber der Ausdruck wird komplizierter. Mit jeder neuen Dimension kommt die Notwendigkeit, sich noch einmal zu integrieren.

— Whuber