Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht messbar ist

Wir wissen aus der Maßtheorie, dass es Ereignisse gibt, die nicht gemessen werden können, dh sie sind nicht nach Lebesgue messbar. Wie nennen wir ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit, für die das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht definiert ist? Welche Aussagen würden wir zu einem solchen Ereignis machen?

probability estimation

— schenectady
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Dies wird nicht berechnet. Vielleicht brauche ich Kaffee oder ich verstehe das falsch. Es gibt einen Unterschied zwischen einer nicht definierten Messfunktion und einer nicht messbaren Menge. Wenn sich die Frage auf die Funktion bezieht, ist es einfach ein Punkt, an dem die Funktion undefiniert ist. Dies schließt die Möglichkeit einer Funktion nicht aus, die definiert ist und ein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß darstellt.

— Iterator

Wenn Sie ohne das Axiom der Wahl keine nicht Lebesgue-messbare Menge erstellen können, wie möchten Sie dann wissen, ob ein bestimmtes Ereignis mit einer nicht messbaren Wahrscheinlichkeit eingetreten ist oder nicht?

— Henry

@ Henry: Das OP bezieht sich möglicherweise nur auf die Terminologie. Wie ich mich auf ein solches Ereignis beziehen könnte , müsste ich Douglas Adams 'Infinite Improbability Drive aufrufen. Oder nenne es ein Phänomen der Weißen Königin, da sie vor dem Frühstück 6 unmögliche Dinge glauben konnte. :)

— Iterator

Wie der Kardinal betonte, werden nicht messbare Mengen in der Wahrscheinlichkeitstheorie sehr häufig verwendet. Das Buch Schwache Konvergenz und empirische Prozesse von van der Vaart bietet eine sehr gute Einführung. Das Lesen dieses Buches erfordert einen recht guten mathematischen Hintergrund, aber die vorgestellte Theorie ist meiner Meinung nach wunderschön.

— mpiktas

Interessieren Sie sich nur für Ergebnisse mit Lebesgue-Messung oder allgemeiner im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie? Dies scheint bei den Teilnehmern hier einige Zweifel zu geben.

— Kardinal

Antworten:

Wie ich in den Kommentaren dargelegt habe, wird im Buch beschrieben, wie mit solchen Ereignissen umzugehen ist (nicht messbare Mengen): Schwache Konvergenz und empirische Prozesse von A. van der Vaart und A. Wellner. Sie können die ersten Seiten durchsuchen.

Die Lösung für den Umgang mit diesen Sets ist recht einfach. Nähern Sie sie mit messbaren Mengen. Nehmen wir also an, wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum . Definieren Sie für jede Menge die äußere Wahrscheinlichkeit (siehe Seite 6 im Buch): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Es stellt sich heraus, dass Sie mit dieser Art von Definition eine sehr fruchtbare Theorie aufbauen können.

— mpiktas
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Obwohl ich kein Experte für empirische Prozesstheorie bin, habe ich den Eindruck, dass die Verwendung äußerer Wahrscheinlichkeiten nicht wirklich auf dem Wunsch beruht, Wahrscheinlichkeiten nicht messbaren Mengen zuzuweisen, sondern darauf, dass Sie nicht den Ärger von tatsächlich die ganze Zeit Messbarkeit beweisen. Und wenn Sie ohne Dinge wie Fubinis Theorem leben können, verlieren Sie im Grunde nichts, indem Sie nur äußere Wahrscheinlichkeiten berechnen.

— NRH

Bearbeiten: In Anbetracht des Kommentars des Kardinals: Alles, was ich unten sage, bezieht sich implizit auf das Lebesgue-Maß (ein vollständiges Maß). Wenn Sie Ihre Frage noch einmal lesen, scheint es, dass Sie auch danach fragen. Im allgemeinen Fall der Borel-Kennzahl kann die Kennzahl möglicherweise um Ihren Satz erweitert werden (was mit der Lebesgue-Kennzahl nicht möglich ist, da sie bereits so groß wie möglich ist).

Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses wäre nicht definiert. Zeitraum. Ähnlich wie eine reelle Wertfunktion nicht für eine (nicht reelle) komplexe Zahl definiert ist, wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß für messbare Mengen definiert, jedoch nicht für nicht messbare Mengen.

Welche Aussagen könnten wir zu einem solchen Ereignis machen? Nun, für den Anfang müsste ein solches Ereignis unter Verwendung des Axioms der Wahl definiert werden. Dies bedeutet, dass alle Mengen, die wir durch eine Regel beschreiben können, ausgeschlossen sind. Das heißt, alle Sets, an denen wir allgemein interessiert sind, sind ausgeschlossen.

Aber können wir nicht etwas über die Wahrscheinlichkeit eines nicht messbaren Ereignisses sagen ? Eine Grenze setzen oder so? Banach-Tarskis Paradoxon zeigt, dass dies nicht funktionieren wird. Wenn das Maß der endlichen Anzahl von Stücken, in die Banach-Tarski die Kugel zerlegt, eine Obergrenze hätte (z. B. das Maß der Kugel), würden wir durch die Konstruktion genügend Kugeln auf einen Widerspruch stoßen. Durch ein ähnliches Argument rückwärts sehen wir, dass die Stücke keine nicht triviale Untergrenze haben können.

Ich habe nicht gezeigt, dass alle nicht messbaren Mengen so problematisch sind, obwohl ich glaube, dass eine klügere Person als ich in der Lage sein sollte, ein Argument zu liefern, das zeigt, dass wir keine "nicht triviale Grenze" für das "Maß" setzen können "jeder nicht messbaren Menge (Herausforderung an die Gemeinschaft).

Zusammenfassend können wir keine Aussage über das Wahrscheinlichkeitsmaß einer solchen Menge machen, dies ist nicht das Ende der Welt, da alle relevanten Mengen messbar sind.

— Har
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Dies ist eine interessante und informative Antwort. Möglicherweise konzentrieren Sie sich jedoch zu sehr auf die Messbarkeit in Lebesgue. Nicht messbare Mengen sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie viel häufiger.

— Kardinal

Es gibt bereits gute Antworten, aber lassen Sie mich mit einem anderen Punkt beitragen. Das Lebesgue-Maß wird häufig in der vollständigen Lebesgue- Algebra berücksichtigt , und wie bereits erwähnt, benötigen wir das Axiom der Wahl, um nicht messbare Lebesgue-Mengen zu ermitteln. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere in Bezug auf stochastische Prozesse ist es alles andere als offensichtlich, dass Sie die Algebra relevant vervollständigen können , und nicht messbare Ereignisse sind weniger exotisch. In gewissem Sinne ist die Lücke zwischen der Borel- Algebra und der Lebesgue- Algebra auf interessanter als die exotischen Mengen, die nicht in der Lebesgue- Algebra enthalten sind. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

Das Problem, das ich meistens sehe und das mit der Frage zusammenhängt, ist, dass eine Menge (oder eine Funktion) möglicherweise nicht offensichtlich messbar ist. In einigen Fällen können Sie beweisen, dass dies tatsächlich der Fall ist, aber es kann schwierig sein, und in anderen Fällen können Sie nur beweisen, dass es messbar ist, wenn Sie die Algebra um die Nullmengen eines Maßes erweitern. Um die Ausdehnung von Borel Algebren auf topologischen Räumen zu untersuchen, werden Sie häufig auf sogenannte Souslin-Mengen oder analytische Mengen stoßen, die nicht Borel-messbar sein müssen. $\sigma$ $\sigma$

— NRH
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