Gibbs Sampler-Übergangskern

Sei die Zielverteilung auf die absolut kontinuierlich zum dimensionalen Lebesgue-Maß geschrieben wird, dh: $\pi$ $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$ $d$

$\pi$ eine Dichte zu mit $\pi(x_1,...,x_d)$ $\lambda^d$

λ^{d} (d x_{1}, . . ., d x_{d}) = λ (d x_{1}) \cdot \cdot \cdot λ (d x_{d})

$\lambda^d(dx_1,...,dx_d) = \lambda(dx_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (dx_d)$

Nehmen wir an, dass die vollständigen Bedingungen aus bekannt sind. Der Übergangskern des Gibbs-Samplers ist also eindeutig das Produkt der vollständigen Bedingungen von . $\pi_i(x_i|x_{-i})$ $\pi$ $\pi$

Wird der Übergangskern auch absolut kontinuierlich auf das dimensionale Lebesgue-Maß geschrieben? $d$

— user2016445
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Ich bin so verwirrt über das Kapitel der Konvergenzeigenschaften des Gibbs-Samplers von Casella und Robert. sry für diese Frage ist es ziemlich offensichtlich, aber ich muss sicher sein, weil es für meine Masterarbeit ist

— user2016445

Entschuldigung für unser Kapitel, das Sie verwirrt ...!

— Xi'an

Sie haben das Glück, dass einer der Autoren Ihre Frage beantwortet.

— Glen_b -State Monica

Wenn Sie den Übergang des systematischen Gibbs-Sampler-Kernels aufschreiben, erhalten Sie für jede Produktmenge und daher ist die Dichte von a Wahrscheinlichkeitsmaß, das gegenüber dem Lebesgue-Maß für absolut stetig ist .

P (X^{'} \in A_{1} \times \dots \times A_{d} | X = x) = \int_{A_{1}} π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) {\int_{A_{2}} π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \dots {\int_{A_{d}} π_{d} (x_{1}^{'} | x_{- d}^{'}) λ (d x_{d}^{'})} \dots λ (d x_{2}^{'})} λ (d x_{1}^{'})

$\mathbb{P}(X'\in A_1\times\cdots\times A_d|X=x)=\int_{A_1} \pi_1(x'_1|x_{-1})\Big\{\int_{A_2} \pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\cdots \left\{\int_{A_d} \pi_d(x'_1|x_{-d}')\lambda(\text{d}x_d')\right\} \cdots\lambda(\text{d}x_2')\Big\}\lambda(\text{d}x_1')$

A_{1} \times \dots \times A_{d} \in B (R^{d})

$A_1\times\cdots\times A_d\in\mathcal{B}(\mathbb{R^d})$

K (x, x^{'}) = π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) \times π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \times \dots \times π_{d} (x_{d}^{'} | x_{- d}^{'})

$K(x,x')=\pi_1(x'_1|x_{-1})\times\pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\times\cdots\times\pi_d(x'_d|x_{-d}')$

(R^{d}, B (R^{d}))

$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$

— Xi'an
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das ist echt lustig :). Nochmals vielen Dank. Ich fühle mich sehr wohl in meinem Kapitel über die Konvergenzeigenschaften des Gibbs-Samplers. Ich möchte mich wirklich für das Kapitel der Konvergenzeigenschaften für die Metropolen-Hastings bedanken! Die minimal notwendigen Bedingungen sind brillant und ich schreibe wirklich einen schönen Beweis für die Irreduzibilität der entsprechenden Markov-Kette des MH-Algo auf.

— user2016445