Ich habe versucht, eine einfache, präzise Definition der Schwanzabhängigkeit zu finden. Könnte jemand teilen, was er glaubt, dass es ist.
Zweitens, wenn ich Simulationen mit verschiedenen Copulas in einem Diagramm darstellen würde, wie würde ich wissen, welche eine Schwanzabhängigkeit aufweisen.
Antworten:
Die Definition der Abhängigkeit des oberen Schwanzes von rv und mit ihren jeweiligen Randverteilungen F und G lautet: (Embrechts et al. (2001)). Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y extrem große Werte erreicht, vorausgesetzt, die Zufallsvariable X erreicht extrem große Werte. Daher kann auf eine Weise verstanden werden, dass je näher das Lambda an eins ist, desto enger die Verbindung zwischen X, das hohe Werte erreicht, und Y, das ebenfalls große Werte erreicht.
In externen Fällen ist es nicht schwer zu sagen, ob die Copulas eine Schwanzabhängigkeit aufweisen: Entscheidend ist, ob sich die (zwei) Variablen in den Ecken des Diagramms enger verhalten als in der Mitte.
Die Gaußsche Kopula hat keine Schwanzabhängigkeit - obwohl die Zufallsvariablen stark korreliert sind, scheint es keine spezielle Beziehung zu geben, da eine der Variablen große Werte erreicht (in den Ecken des Diagramms).
Das Fehlen der Schwanzabhängigkeit wird deutlich, wenn das Diagramm mit dem Diagramm von Simulationen mit denselben Rändern, jedoch mit T-2-Kopula verglichen wird.
T-Copulas haben die Schwanzabhängigkeit und die Abhängigkeit nimmt mit der Korrelation zu und mit der Anzahl der Freiheitsgrade ab. Wenn mehr Punkte simuliert würden, so dass ein größerer Teil des Einheitsquadrats bedeckt wäre, würden wir die Punkte fast als dünne Linie in der oberen rechten und unteren linken Ecke sehen. Aber selbst auf dem Diagramm ist ersichtlich, dass im oberen rechten und unteren linken Quadranten - dh wenn beide Variablen sehr niedrige oder sehr hohe Werte erreichen - die beiden Variablen noch enger miteinander korreliert zu sein scheinen als im Körper.
Die Finanzmärkte weisen tendenziell eine Schwanzabhängigkeit auf, insbesondere eine geringere Schwanzabhängigkeit. Zum Beispiel haben die wichtigsten Aktienrenditen in normalen Zeiten eine Korrelation von ungefähr 0,5, aber im September / Oktober 2008 hatten einige Paare eine Korrelation von über 0,9 - beide fielen massiv. Die Gaußsche Kopula wurde vor der Krise bei der Preisgestaltung für kommende Kreditprodukte verwendet. Da sie die Schwanzabhängigkeit nicht berücksichtigte, wurden potenzielle Verluste unterschätzt, als viele Hausbesitzer nicht mehr zahlen konnten. Die Zahlungen eines Hausbesitzers können als Zufallsvariablen verstanden werden - und sie erwiesen sich in dem Moment als stark korreliert, als viele Menschen Schwierigkeiten hatten, ihre Hypotheken zu bezahlen. Da diese Ausfälle aufgrund eines ungünstigen Wirtschaftsklimas eng miteinander verbunden waren, zeigten die Gegensätze eine Schwanzabhängigkeit.
PS: Technisch gesehen zeigen die Bilder multivariate Verteilungen, die aus den Copulas und normalen Rändern erzeugt werden.
Die Schwanzabhängigkeit liegt vor, wenn die Korrelation zwischen zwei Variablen zunimmt, wenn Sie im Schwanz (einer oder beiden) der Verteilung "weiter" kommen. Vergleichen Sie eine Clayton-Copula mit einer Frank-Copula.
Der Clayton ist vom linken Schwanz abhängig. Das heißt, wie Sie weiter nach links-tail het (kleinere Werte), werden die Variablen mehr korreliert. Der Frank (und auch der Gaußsche) ist symmetrisch. Wenn die Korrelation 0,45 beträgt, beträgt sie über die gesamte Zeitspanne der Verteilung 0,45.
Wirtschaftssysteme neigen dazu, eine Schwanzabhängigkeit aufzuweisen. Nehmen Sie zum Beispiel das Kreditrisiko des Rückversicherers ein. Wenn die Gesamtschäden normal sind, kann es unkorreliert oder sehr schwach korreliert sein, ob Rückversicherer A oder Rückversicherer B mit ihren Zahlungen an einen Versicherer in Verzug geraten. Stellen Sie sich nun vor, dass eine Reihe von Opfern passiert sind (wie die Hurrikane Rita, Wilma, Ida usw.). Jetzt wird der gesamte Markt nacheinander von riesigen Zahlungsaufforderungen heimgesucht, was zu einem Liquiditätsproblem führen kann, mit dem viele Rückversicherer aufgrund des Umfangs des Problems und der gleichzeitigen Anforderungen ihrer Versicherten konfrontiert sind. Ihre Zahlungsfähigkeit ist jetzt viel korrelierter. Dies ist ein Beispiel, in dem eine Kopula mit rechtsseitiger Abhängigkeit erforderlich ist.
Die Schwanzabhängigkeit, zumindest so wie ich sie verstehe, wurde jemandem mit begrenztem Statistikhintergrund erklärt.
Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Variablen, X und Y. Mit jeweils 100.000 Beobachtungen. Die Beobachtungen sind gewissermaßen miteinander verbunden. Vielleicht wurden sie mit einer Kopula generiert, oder Sie haben zufällig die Rückgabewerte von zwei stark korrelierten Aktien über einen Zeitraum von 100.000 Zeiträumen.
Schauen wir uns die schlechtesten 1% der Beobachtungen für X an. Das sind 1.000 Beobachtungen. Schauen Sie sich nun den entsprechenden Wert für Y in diesen 1.000 Beobachtungen an. Wenn X und Y unabhängig wären, würden Sie erwarten, dass 10 Beobachtungen dieser 1.000 Beobachtungen Teil der schlechtesten 1% -Werte von Y sind.
Die tatsächliche Anzahl der Beobachtungen ist wahrscheinlich höher als 10, wenn die Werte für X und Y in den Schwänzen nicht unabhängig sind. Dies wird als Schwanzabhängigkeit bezeichnet .