Die Ökonometrie eines Bayes'schen Ansatzes zur Methodik von Ereignisstudien

Ereignisstudien sind in Wirtschaft und Finanzen weit verbreitet, um die Auswirkung eines Ereignisses auf den Aktienkurs zu bestimmen. Sie basieren jedoch fast immer auf häufigen Überlegungen. Eine OLS-Regression - über einen vom Ereignisfenster verschiedenen Referenzzeitraum - wird normalerweise verwendet, um die Parameter zu bestimmen, die zur Modellierung der normalen Rendite für einen Vermögenswert erforderlich sind. Man bestimmt dann die statistische Signifikanz der kumulativen abnormalen Renditen ( $\text{CAR}$ ) für den Vermögenswert $i$ nach einem Ereignis während eines bestimmten Ereignisfensters von $T_1$ bis $T_2$ . Ein Hypothesentest wird verwendet, um festzustellen, ob diese Renditen signifikant und somit tatsächlich abnormal sind oder nicht. Somit:

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$ , wobei

und $\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$

ist die vom Modell prognostizierte Rendite des Vermögenswerts. $\mathbb{E}[r_{i,t}]$

Wenn unsere Anzahl von Beobachtungen groß genug ist, können wir von einer asymptotischen Normalität der Verteilung der Vermögensrenditen ausgehen, dies kann jedoch für eine kleinere Stichprobengröße möglicherweise nicht überprüft werden.

Es kann argumentiert werden, dass aus diesem Grund Studien mit einem einzigen Unternehmen (wie sie beispielsweise in Rechtsstreitigkeiten erforderlich sind) einem Bayes'schen Ansatz folgen sollten, da die Annahme von unendlich vielen Wiederholungen viel "weiter von der Verifizierung entfernt" ist als im vorliegenden Fall von mehreren Firmen. Der frequentistische Ansatz bleibt jedoch gängige Praxis.

Angesichts der knappen Literatur zu diesem Thema ist meine Frage, wie man sich einer Ereignisstudie am besten nähert - analog zu der oben beschriebenen und in zusammengefassten Methodik MacKinlay, 1997, mit einem Bayes'schen Ansatz angeht.

Obwohl diese Frage im Kontext der empirischen Unternehmensfinanzierung gestellt wird, geht es tatsächlich um die Ökonometrie der Bayes'schen Regression und Inferenz sowie um die unterschiedlichen Argumente hinter frequentistischen und Bayes'schen Ansätzen. Speziell:

Wie sollte ich mich der Schätzung der Modellparameter am besten mit einem Bayes'schen Ansatz nähern (unter der Annahme eines theoretischen Verständnisses der Bayes'schen Statistik, aber wenig bis gar keiner Erfahrung in der Verwendung für empirische Untersuchungen)?
Wie teste ich die statistische Signifikanz, nachdem kumulative abnormale Renditen berechnet wurden (unter Verwendung der normalen Renditen aus dem Modell)?
Wie kann dies in Matlab implementiert werden?

bayesian econometrics finance

— Constantin
quelle

(1.) ist einfach: Verwenden Sie die Bayes'sche lineare Regression . (2.) ist schwieriger, weil Signifikanztests keine Bayes'sche Sache sind. Sie können nur die Wahrscheinlichkeit verschiedener Modelle vergleichen, und

ist nicht die Basis eines Modells, da

kein Modellparameter ist. Was ist der Zweck des

? Welche Entscheidungen werden darauf basierend getroffen?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Ich suche nach Beweisen für meine Annahme, dass das untersuchte Ereignis einen Einfluss auf den Aktienkurs hat (in diesem Fall unterscheidet sich das

von Null, da es während des Ereignisfensters im Verhältnis zur normalen Rendite berechnet wird. die für den Referenzzeitraum vor dem Ereignis berechnet wird). Ich bin daran interessiert, ob die Daten die Hypothese stützen, dass es tatsächlich ein

ungleich Null gibt, und auch in seiner Größe. Mir ist klar, dass statistische Signifikanz in der Bayes'schen Statistik nicht wirklich eine Rolle spielt, aber welche Interpretation bietet diese Methode? Kann ich ein Äquivalent zum Testen von Hypothesen anwenden?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Constantin

Wenn Sie argumentieren möchten, dass der Bayes'sche Ansatz eher auf kleine Stichproben der Größe

anwendbar ist , ist es unvermeidlich, dass Prior mit einer solchen Stichprobe viel zu laut spricht.

n = 1

$n=1$

— StasK

Kann ich keinen nicht informativen Prior verwenden?

— Constantin

Antworten:

Wie in den Kommentaren erwähnt, ist das gesuchte Modell die Bayes'sche lineare Regression . Und da wir BLR verwenden können, um die posteriore Vorhersageverteilung für jeden Zeitpunkt zu berechnen , können wir die Verteilung numerisch auswerten . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Die Sache ist, ich denke nicht, dass eine Verteilung über ist, was Sie wirklich wollen. Das unmittelbare Problem ist, dass die Wahrscheinlichkeit Null hat. Das zugrunde liegende Problem besteht darin, dass die "Bayes'sche Version von Hypothesentests" Modelle über ihren Bayes-Faktor vergleicht. Dazu müssen Sie jedoch zwei konkurrierende Modelle definieren. Und sind keine Modelle (oder zumindest keine Modelle ohne extrem unnatürliches Zahlen-Jonglieren). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Nach dem, was Sie in den Kommentaren gesagt haben, denke ich, dass Sie tatsächlich antworten möchten

Werden und besser durch dasselbe oder durch unterschiedliche Modelle erklärt? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Das hat eine nette Bayes'sche Antwort: Definieren Sie zwei Modelle

: Alle Daten in aus demselben BLR gezogen. Um die Grenzwahrscheinlichkeit dieses Modells zu berechnen, berechnen Sie die Grenzwahrscheinlichkeit einer BLR-Anpassung an alle Daten. $M_0$ $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
: Die Daten in und stammen aus zwei verschiedenen BLRs. Um die Grenzwahrscheinlichkeit dieses Modells zu berechnen, passen Sie BLRsunabhängigvoneinander an und (obwohl Sie dieselben Hyperparameter verwenden!)Undnehmen dann das Produkt der beiden BLR-Grenzwerte Wahrscheinlichkeiten. $M_1$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Anschließend können Sie den Bayes-Faktor berechnen

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

zu entscheiden, welches Modell glaubwürdiger ist.

— Andy Jones
quelle

Ich denke nicht, dass ein separates Modell für den Ereigniszeitraum direkt auf meine spezielle Forschungsfrage anwendbar wäre, da es keinen weiteren Risikofaktor gibt, den ich hinzufügen könnte, um die Rendite während des Ereignisfensters zu erklären. Ich betrachte das Ereignis als eine Störung im Verhältnis zur normalen Rendite meines Asset-Pricing-Modells, sodass ein Vergleich zweier Modelle nicht wirklich möglich ist. Ist es nicht möglich, ein Konfidenzintervall für

? Auf diese Weise könnte ich untersuchen, ob 0 innerhalb eines bestimmten Intervalls um die ML-Schätzung liegt, nein?

C A R

$CAR$

— Constantin

Die Bayes'sche Variante der Konfidenzintervalle ist ein glaubwürdiges Intervall , und ja, Sie könnten die

Verteilung verwenden, um eines zu konstruieren. Das ist allerdings kein Hypothesentest.

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Ich glaube, ich hätte das gleiche Modell / verschiedene Modelle schlecht erklärt - oben meinte ich mit "verschiedenen Modellen" "verschiedene Parameter". In

wird ein Parametersatz verwendet, um alle Daten zu erklären. In

wird ein Parametersatz verwendet, um die Trainingsdaten zu erklären, und ein anderer, um die Testdaten zu erklären. Dies ist ein fairer Vergleich, da

doppelt so viele Parameter hat, wie es an die Daten anpassen kann (was seine Marignalwahrscheinlichkeit erhöht), aber doppelt so viele Parameter aus dem Prior zieht (was seine Grenzwahrscheinlichkeit benachteiligt).

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Andy Jones

Okay, ich verstehe das Konzept. Das scheint in der Tat elegant zu sein. Wie genau würde ich die beiden Modelle spezifizieren? Könnten Sie Literatur oder verwandte Konzepte empfehlen, um speziell zu studieren?

— Constantin

Während es umstritten ist, gibt es so etwas wie einen Bayes'schen Punkt-Null- oder scharfen Hypothesentest. Es ist nur das einfache Quotenverhältnis mit einem diskontinuierlichen Prior bei

. Dies ist umstritten, da die meisten Modelle keine gute Rechtfertigung für eine Mischung aus kontinuierlichen und diskreten Prioritäten bieten. Ereignisstudien sind eine mögliche Ausnahme von dieser Regel.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— Jayk

Sie können keine Eventstudie mit einer einzelnen Firma durchführen.

Leider benötigen Sie für jede Ereignisstudie Paneldaten. Ereignisstudien konzentrieren sich auf Renditen für einzelne Zeiträume vor und nach Ereignissen. Ohne mehrere feste Beobachtungen pro Zeitraum vor und nach dem Ereignis ist es unmöglich, Rauschen (firmenspezifische Variation) von den Auswirkungen des Ereignisses zu unterscheiden. Selbst mit nur wenigen Firmen wird Lärm das Ereignis dominieren, wie StasK betont.

Abgesehen davon können Sie mit einem Gremium aus vielen Firmen immer noch Bayes'sche Arbeit leisten.

Wie man normale und abnormale Renditen schätzt

Ich gehe davon aus, dass das Modell, das Sie für normale Renditen verwenden, einem Standard-Arbitrage-Modell ähnelt. Wenn dies nicht der Fall ist, sollten Sie in der Lage sein, den Rest dieser Diskussion anzupassen. Sie sollten Ihre "normale" Rückgaberückführung mit einer Reihe von Dummies für das Datum relativ zum Ankündigungsdatum ergänzen. : $S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

EDIT: Es sollte sein, dass nur enthalten ist, wenn . Ein Problem bei diesem Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass vor und nach dem Ereignis durch Daten informiert wird. Dies ist nicht genau auf traditionelle Ereignisstudien zurückzuführen, bei denen die erwarteten Renditen erst vor dem Ereignis berechnet werden. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Diese Regression ermöglicht es Ihnen, über etwas zu sprechen, das der Art von CAR-Serien ähnelt, die wir normalerweise sehen, wobei wir eine Darstellung der durchschnittlichen abnormalen Renditen vor und nach einem Ereignis mit möglicherweise einigen Standardfehlern haben:

enter image description here

( schamlos aus Wikipedia entnommen )

Sie müssen eine Verteilungs- und Fehlerstruktur für die wahrscheinlich normalverteilten mit einer Varianz-Co-Varianz-Struktur erstellen. Sie können dann eine vorherige Verteilung für , und einrichten $e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$ und die oben erwähnte Bayes'sche lineare Regression ausführen.

Ansageeffekte untersuchen

$\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$ erfordert daher möglicherweise viel spezifischere Kenntnisse als wir zur Verfügung haben (siehe unten).

$\gamma_0$

$\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Für Daten vor und nach der Ankündigung können jedoch strenge Hypothesentests eine wichtige Rolle spielen, da diese Renditen als Tests für eine starke und halbstarke Formeffizienz angesehen werden können

Testen auf Verstöße gegen die Effizienz der halbstarken Form

$\gamma_{s> 0}=0$

$\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$ Sie würden einen Bayes-Faktor verwenden:

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

$\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ ist eine Verletzung der halbstarken Formulareffizienz und möglicherweise eine große Gewinnmöglichkeit. Ein gültiger Prior könnte also eine positive Wahrscheinlichkeit setzen $\gamma_{s>0} =0$ . Dies ist genau der Ansatz von Harvey und Zhou (1990) . Stellen Sie sich allgemeiner vor, Sie haben einen Prior mit zwei Teilen. Mit Wahrscheinlichkeit $p$ Sie glauben an Effizienz in starker Form ( $\gamma_{s\neq 0} =0$ ) and with probability $1-p$ you don't believe in strong-form efficiency. Conditional on knowing strong-form efficiency is false, you think that there is a continuous distribution over $\gamma_{s>0}$ , $f$ . Then you can construct the Bayes factor test:

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

This test works because conditional on strong-form being true you would know that $\gamma_{s>0}=0$ . In this case your prior is now a mixture of continuous and discrete distributions.

That a sharp test exists does not preclude you using more subtle tests. There is no reason you cannot examine the distribution of $\gamma_{s> 0}$ the same way I suggested for $\gamma_{s=0}$ . This may be more interesting, especially since it is not dependent on a belief that transaction costs are non-existent. Credibile intervals could be formed, and based on your beliefs about transaction costs you could construct model tests based on intervals $\gamma_{s>0}$ . Following Brav (2000) you could also predictive densities based on the "normal" return model ( $\gamma_s=0$ ) to compare with actual returns, as a bridge between Bayesian and frequentist methods.

Cumulative abnormal returns

Everything so far has been a discussion of abnormal returns. So I'm going to go quickly into CAR:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

This is a close counterpart to the average cumulative abnormal returns based on residuals that you are used to. You can find the posterior distribution using either numerical or analytic integration, depending on your prior. Because there is no reason to assume $\gamma_0=0$ , there is no reason to assume $\text{CAR}_{t>0}=0$ , so I would advocate the same analysis as with announcement effects, with no sharp hypothesis testing.

How to implement in Matlab

For a simple version of these models, you just need regular old Bayesian linear regression. I don't use Matlab but it looks like there's a version here. It's likely this works only with conjugate priors.

For more complicated versions, for instance the sharp hypothesis test, you will likely need a Gibbs sampler. I'm not aware of any out-of-the box solutions for Matlab. You can check for interfaces to JAGS or BUGS.

— jayk
quelle

Thank you for this extensive and very helpful answer! About your first point: Is this the case even if I am only interested in the effect of a specific legislation on a specific firm (i.e. the event effect only for a small number $n\geq 1$ firms)? If in this case it is still necessary to increase the sample size, how many firms would be required and how should I select them?

— Constantin

The effect of a specific legislation may be impossible to find. If it is a law applied to (say) a specific industry it'll be difficult to separate industry trends from the legislation. I would definitely suggest more than 30 firms if possible. You can always check to see if your prior and posterior are very different. If your posterior hasn't shifted much from your prior it's likely your sample size is too small.

— jayk

Do you happen to be able to give me a reference for an event study which uses dummy variables for pre/post-event dates? I have not been able to find this methodology in the literature so far. I would much appreciate it!

— Constantin

I have not seen any, but I think the method makes sense in context (with the caveats I put on it). An alternative would be to estimate your parameters on the pre-announcement dates and then use the posterior to generate the returns going forward as in the Brav article I mentioned above.

— jayk