Was sind die Parameter eines Wishart-Wishart posterior?

Wenn die Präzision Matrix infering $\boldsymbol{\Lambda}$ einer Normalverteilung verwendet , zu erzeugen D-dimensionalen Vektoren wir normalerweise einen Wishart vor da die Wishart-Verteilung das Konjugat vor der Präzision einer Multivariate ist Normalverteilung mit bekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz: wobei \ upsilon ist die Freiheitsgrade und \ boldsymbol {\ Lambda_0} die$N$$\mathbf{x_1},..,\mathbf{x_N}$

$$\begin{align} \mathbf{x_i} &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu, \Lambda^{-1}}) \\ \end{align}$$ $\boldsymbol{\Lambda}$ $$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$$ $\upsilon$$\boldsymbol{\Lambda_0}$Skalenmatrix . Um dem Modell Robustheit und Flexibilität zu verleihen, haben wir die Parameter des Wishart übersteuert. Zum Beispiel schlagen Görür und Rasmussen vor: wobei Gamma-Verteilung ist. $$\begin{align} \mathbf{\Lambda_0} &\sim \mathcal{W}(D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \frac{1}{\upsilon-D + 1} &\sim \mathcal{G}(1, \frac{1}{D}) \\ \end{align}$$ $\mathcal{G}$

Frage:

um den hinteren Teil von \ anzufangen {align} p (\ boldsymbol {\ Lambda_0 | X, \ Lambda}, \ upsilon, D, \ boldsymbol {\ Lambda_x}) \ propto \ mathcal {W } (\ boldsymbol {\ Lambda} | \ upsilon, \ boldsymbol {\ Lambda_0}) \ mathcal {W} (\ boldsymbol {\ Lambda_0} | D, \ frac {1} {D} \ boldsymbol {\ Lambda_x}) \ \ \ end {align}p ( Λ 0 | X , Λ , υ , D , Λ x ) ∝ W ( Λ | υ , Λ 0 ) W ( Λ 0 | D , $\boldsymbol{\Lambda_0}$

$$\begin{align} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \end{align}$$

Was ist die Familie und die Parameter dieses hinteren?

PS:

Lässt man alle Faktoren fallen, die nicht von und identifiziert die Parameter mit den Parametern eines Wihsarts, erhalte ich einen Wishart mit Parametern: υ $\boldsymbol{\Lambda_0}$

$$\begin{align} \upsilon' &= \upsilon + D\\ \boldsymbol{\Lambda'} &= \boldsymbol{\Lambda} + \boldsymbol{\Lambda_x} \end{align}$$

das sieht ganz nett aus, aber ich bin überhaupt nicht zuversichtlich, da ich weder in Büchern noch im Internet ein Beispiel finde.

Erratum :

Görur und Rasmussen schlagen diese Hyperprioren über den Wishart-Parametern vor, aber diese Gleichung lautet:

$$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$$

sollte stattdessen sein:

$$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}) \\ \end{align}$$

daher den Mangel an Konjugation zu lösen. Wenn wir behalten wollen, sollten wir den Inverse Wishart als Prior verwenden (siehe @ Xi'ans Antwort).$\boldsymbol{\Lambda_0}$

Das Produkt der beiden Dichten in

$$p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ $$ führt zu Die nicht erscheint eine Standarddichte zu sein. Zu halten conjugacy der Art, die richtige hierarchische vor aufΛ0sollte so etwas wie Λ0~IW(Λ0|D, $$\begin{align*} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) &\propto |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{-\upsilon/2}\,\exp\{-\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda})/2\}\\ &\times |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-p-1)/2}\,\exp\{-D\,\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\\ &\propto|\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-\upsilon-p-1)/2}\,\exp\{-tr(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}+D\,\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\,, \end{align*}$$
$\boldsymbol{\Lambda_0}$ $$\boldsymbol{\Lambda_0}\sim\mathcal{IW}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x})\,.$$

$$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$$ $\mathbf{S^{-1}}$$\mathbf{S}$ $$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S} ) \times \mathcal{IW}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$$

$$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) &\propto |\mathbf{S}|^{\upsilon/2} \exp\{-\frac{1}{2} tr(\mathbf{SW}) \}\\ &\times |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr (\mathbf{S_0^{-1} S})\}\\ &\propto |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon + \upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr ( (\mathbf{W} + \mathbf{S_0^{-1}) S})\} \end{align}$$

$tr({\mathbf{SW}}) = tr({\mathbf{WS}})$

$$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(\upsilon+ \upsilon_0, \mathbf{(W+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$$

$N$ Draws$\mathbf{W_1...W_N}$:

Für den Fall, wenn wir haben $N$ Präzisionsmatrizen dann wird die Wahrscheinlichkeit ein Produkt von $N$ Wahrscheinlichkeiten und wir bekommen:

$$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(N \upsilon+ \upsilon_0, (\sum_{i=1}^N \mathbf{W_i+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$$