Warum ist die Kurtosis einer Normalverteilung 3 statt 0?

Was bedeutet die Aussage, dass die Kurtosis einer Normalverteilung 3 ist? Bedeutet dies, dass auf der horizontalen Linie der Wert 3 der Spitzenwahrscheinlichkeit entspricht, dh 3 ist der Modus des Systems?

Wenn ich eine normale Kurve betrachte, scheint der Peak in der Mitte aufzutreten, auch bekannt als 0. Warum ist die Kurtosis also nicht 0 und stattdessen 3?

normal-distribution moments kurtosis

— Sieger
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Wie @Glen_b schreibt, wurde der "Kurtosis" -Koeffizient als vierter standardisierter Moment definiert:

Es kommt also vor, dass für die Normalverteilung

also

. Dieüberschüssige Kurtosis, diegewöhnlich mit

ist

. Vorsicht ist geboten, denn manchmal schreiben Autoren "Kurtosis" und meinen "überschüssige Kurtosis".

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— Alecos Papadopoulos

Betreff: Mein vorheriger Kommentar. Der korrekte Ausdruck für den überschüssigen Kurtosis-Koeffizienten ist

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Alecos Papadopoulos

Kurtosis ist sicherlich nicht der Ort, an dem sich der Gipfel befindet. Wie du sagst, das nennt man schon den Modus.

Kurtosis ist der standardisierte vierte Moment: Wenn ist eine standardisierte Version der Variablen, die wir betrachten, dann ist die Bevölkerungskurtosis die durchschnittliche vierte Potenz dieser standardisierten Variablen; . Die Probenkurtose ist dementsprechend auf die mittlere vierte Potenz eines standardisierten Satzes von Probenwerten bezogen (in einigen Fällen wird sie mit einem Faktor skaliert, der bei großen Proben auf 1 geht). $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

Wie Sie bemerken, ist dieser vierte standardisierte Moment im Fall einer normalen Zufallsvariablen 3. Wie Alecos in Kommentaren bemerkt, definieren manche Leute Kurtosis als ; Das wird manchmal als überschüssige Kurtosis bezeichnet (es ist auch das vierte Kumulat). Wenn Sie das Wort "Kurtosis" sehen, müssen Sie die Möglichkeit berücksichtigen, dass verschiedene Personen dasselbe Wort verwenden, um sich auf zwei verschiedene (aber eng verwandte) Größen zu beziehen. $E(Z^4)-3$

Kurtosis wird normalerweise entweder als Peakedness * (sagen wir, wie stark der Peak gekrümmt ist - was vermutlich die Absicht war, das Wort "Kurtosis" zu wählen) oder als Heavy - Tailedness (oft das, was die Leute daran interessiert sind, es zu messen) beschrieben, aber in Tatsächlich misst der übliche vierte standardisierte Moment keines dieser Dinge.

Tatsächlich liefert der erste Band von Kendall und Stuart Gegenbeispiele, aus denen hervorgeht, dass eine höhere Kurtosis nicht unbedingt mit einem höheren Peak (in einer standardisierten Variablen) oder einem dickeren Schwanz verbunden ist (ähnlich wie der dritte Moment nicht ganz die Anzahl der Menschen misst) denke schon).

In vielen Situationen besteht jedoch die Tendenz, mit beidem in Verbindung zu stehen, da bei einer höheren Kurtosis häufig eine stärkere Scheitelhöhe und eine stärkere Schwanzhärte zu beobachten sind.

Kurtosis und Schiefe hängen eng zusammen (die Kurtosis muss mindestens 1 mehr als das Quadrat der Schiefe sein; die Interpretation der Kurtosis ist etwas einfacher, wenn die Verteilung nahezu symmetrisch ist.

Bildbeschreibung hier eingeben

$\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

De Carlo (1997) ist ein vernünftiger Ausgangspunkt (nach grundlegenderen Quellen wie Wikipedia), um über Kurtosis zu lesen.

$E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ); und umgekehrt - wenn Sie mehr Gewicht in die Mitte legen, während Sie die Varianz auf 1 halten, streichen Sie auch etwas in den Schwanz.

[NB wie in den Kommentaren besprochen, ist dies als allgemeine Aussage falsch; hier ist eine etwas andere Aussage erforderlich.]

Dieser Effekt der Konstanthaltung der Varianz steht in direktem Zusammenhang mit der Diskussion der Kurtosis als "Variation um die Schultern" in Darlington und Moors 'Arbeiten. Dieses Ergebnis ist keine Handwavy-Vorstellung, sondern eine einfache mathematische Entsprechung - man kann es nicht für anders halten, ohne die Kurtosis falsch darzustellen.

$(-1,1)$ $(-1,1)$

[Meine Aufnahme von Kendall und Stuart in die Referenzen ist, weil ihre Diskussion über Kurtosis auch für diesen Punkt relevant ist.]

Was können wir also sagen? Eine Kurtosis ist oft mit einem höheren Gipfel und einem schwereren Schwanz verbunden, ohne dass auch ein Widerrist auftreten muss. Natürlich ist es einfacher , die Kurtosis zu heben, indem Sie mit dem Schwanz spielen (da es möglich ist, mehr als 1 SD zu entfernen) und dann die Mitte so einstellen, dass die Varianz konstant bleibt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass der Peak keinen Einfluss hat. Dies ist mit Sicherheit der Fall, und man kann die Kurtosis manipulieren, indem man sich stattdessen darauf konzentriert. Kurtosis ist größtenteils aber nicht nur mit Schwanzschwere verbunden - schauen Sie sich auch hier die Variation um die Schultern an; wenn überhaupt, ist es das, worauf die Kurtosis abzielt, in einem unvermeidlichen mathematischen Sinne.

Verweise

Balanda, KP und MacGillivray, HL (1988),
"Kurtosis: A critical review".
American Statistician 42 , 111-119.

Darlington, Richard B. (1970),
"Ist Kurtosis wirklich" Peakedness? ".
American Statistician 24 , 19-22.

Moors, JJA (1986),
"Die Bedeutung von Kurtosis: Darlington überarbeitet."
American Statistician 40 , 283 & ndash; 284.

DeCarlo, LT (1997),
"Über die Bedeutung und Verwendung von Kurtosis."
Psychol. Methods, 2 , 292 & ndash; 307.

Kendall, MG, und A. Stuart,
Die Advanced Theory of Statistics ,
Vol. 1, 3rd Ed.
(Neuere Ausgaben haben Stuart und Ord)

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Westfalls Artikel über Kurtosis mit dem Titel Kurtosis as Peakedness, 1905-2014 RIP ist eine Überlegung wert. Es kritisiert DeCarlo (unter anderem auch oben aufgeführt) für die Verbreitung von Kenntnissen über Kurtosis als Maß für die Peakedness. Link hier: ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster

@Lil Ich denke, Westfall übertreibt seinen Fall. Indem er sich (fast) ausschließlich auf schwere Schwänze konzentriert, ist er absolut falsch. Während Kurtosis ziemlich stark mit schweren Schwänzen assoziiert ist, ist Kurtosis nachweislich keine schwere Schwanzschwänze (Gegenbeispiele, bei denen schwerere Schwänze mit einer niedrigeren Kurtosis einhergehen, sind leicht zu finden, wie in einigen der obigen Referenzen beschrieben; sie sind auch leicht herzustellen). Kurtosis ist weniger stark mit Peakedness verbunden, aber es gibt noch eine Verbindung dort; Indem er darauf besteht, dass es keine Spitze ist, geht er in seiner Kritik zu weit (ähnliche Kritik trifft auf seine eigenen Schlussfolgerungen zu). ... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

Glen_b, du und ich lieben Mathe. Wenn Sie mich wegen "Überbewertung meines Falls" kritisieren, geben Sie mir bitte Ihr mathematisches Argument, das Pearsons Kurtosis mit "Peakedness" verbindet.

— Peter Westfall

Gelen_b, Ihr Kommentar "Dies bedeutet, dass die Bewegung der Wahrscheinlichkeit weiter in den Schwanz einhergehen muss mit etwas mehr innerhalb von mu + - Sigma und umgekehrt - wenn Sie mehr Gewicht in die Mitte legen, während Sie die Varianz auf 1 halten, setzen Sie auch etwas raus in den Schwanz "Ist falsch. Es darf nicht. Sie können die Wahrscheinlichkeit (tatsächlich die gesamte Verteilung) innerhalb von mu + - sigma konstant halten und die Kurtosis innerhalb bestimmter parametrischer Verteilungsfamilien auf unendlich erhöhen. Siehe hier: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— Peter Westfall

Hier ist eine direkte Visualisierung, um zu verstehen, worauf sich die Zahl "3" in Bezug auf die Kurtosis der Normalverteilung bezieht.

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

Unter diesem Gesichtspunkt könnte die im Wesentlichen korrekte "Schwanzgewicht" -Interpretation der Kurtosis genauer als "Schwanzhebel" charakterisiert werden, um zu vermeiden, dass "erhöhtes Schwanzgewicht" mit "erhöhter Masse im Schwanz" verwechselt wird. Immerhin ist es möglich, dass höhere Kurtosis weniger Masse im Schwanz entspricht, aber wo diese verringerte Masse eine weiter entfernte Position einnimmt.

"Gib mir den Platz zum Stehen, und ich werde die Erde bewegen." -Archimedes

— Peter Westfall
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