Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine verrauschte Sinuswelle

Ich möchte eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Abtastpunkten aus einer oszillierenden Funktion analytisch berechnen, wenn ein Messfehler vorliegt. Ich habe bereits die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Teil "ohne Rauschen" berechnet (ich werde dies am Ende setzen), aber ich kann nicht herausfinden, wie "Rauschen" eingeschlossen werden soll.

Numerische Schätzung

Stellen Sie sich zur Verdeutlichung vor, es gibt eine Funktion der Sie während eines einzelnen Zyklus zufällig Punkte auswählen. Wenn Sie die Punkte in einem Histogramm ablegen, erhalten Sie etwas, das mit der Verteilung zusammenhängt.$y(x) = \sin(x)$

Ohne Lärm

Zum Beispiel ist hier die und das entsprechende Histogramm$sin(x)$

Mit Lärm

Wenn nun ein Messfehler auftritt, ändert sich die Form des Histogramms (und daher denke ich, dass die zugrunde liegende Verteilung). Beispielsweise

Analytische Berechnung

Hoffentlich habe ich Sie davon überzeugt, dass es einen Unterschied zwischen den beiden gibt. Jetzt werde ich aufschreiben, wie ich den Fall "ohne Rauschen" berechnet habe:

Ohne Lärm

$$y(x) = \sin(x)$$

Wenn dann die Zeiten, zu denen wir abtasten, gleichmäßig verteilt sind, muss die Wahrscheinlichkeitsverteilung für erfüllen:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

dann seit

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

und so

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

Dies passt bei entsprechender Normalisierung zu dem im Fall "kein Rauschen" erzeugten Histogramm.

Mit Lärm

Meine Frage lautet also: Wie kann ich Rauschen analytisch in die Verteilung einbeziehen? Ich denke, es ist so etwas wie das clevere Kombinieren der Verteilungen oder das Einbeziehen von Rauschen in die Definition von , aber ich habe keine Ideen und Möglichkeiten, mich vorwärts zu bewegen, sodass Hinweise / Tipps oder sogar empfohlene Lektüre viel sind geschätzt.$y(x)$

Dies hängt davon ab, wie der Rauschprozess strukturiert ist.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(Diese Faltung wurde numerisch durchgeführt. Ich weiß nicht, wie nachvollziehbar dieses Integral in diesem Beispiel ist, weil ich es nicht versucht habe.)

Ich denke, der abgeleitete Ausdruck für P (x) ist um den Faktor zwei versetzt. Eine gleichmäßig verteilte Abtastzeit entspricht einer gleichmäßig verteilten Phase über das Intervall -pi, pi. Die trigonometrische Funktion verteilt die Wahrscheinlichkeit über das y-Intervall {-1,1}. Die Integration von P (y) über dieses Intervall muss = 1 sein, nicht 2, wie mit Ihrem obigen Integranden erhalten. Ich denke P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))