Verwirrt über die visuelle Erklärung von Eigenvektoren: Wie können visuell unterschiedliche Datensätze dieselben Eigenvektoren haben?

Viele Statistiklehrbücher bieten eine intuitive Illustration der Eigenvektoren einer Kovarianzmatrix:

Die Vektoren u und z bilden die Eigenvektoren (also Eigenachsen). Das macht Sinn. Was mich jedoch verwirrt, ist, dass wir Eigenvektoren aus der Korrelationsmatrix extrahieren , nicht die Rohdaten. Darüber hinaus können sehr unterschiedliche Rohdatensätze identische Korrelationsmatrizen aufweisen. Zum Beispiel haben beide die folgenden Korrelationsmatrizen von:

Als solche haben sie Eigenvektoren, die in die gleiche Richtung zeigen:

Wenn Sie jedoch dieselbe visuelle Interpretation anwenden würden, in welche Richtungen sich die Eigenvektoren in den Rohdaten befinden, würden Sie Vektoren erhalten, die in verschiedene Richtungen zeigen.

Kann mir bitte jemand sagen, wo ich falsch gelaufen bin?

Zweite Änderung : Wenn ich so mutig sein darf, konnte ich mit den hervorragenden Antworten unten die Verwirrung verstehen und illustrieren.

1. Die visuelle Erklärung stimmt mit der Tatsache überein, dass die aus der Kovarianzmatrix extrahierten Eigenvektoren unterschiedlich sind.

   Kovarianzen und Eigenvektoren (rot):

   $$\left[\begin{array}{} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .7 & -.72 \\ .72 & .7\end{array}\right]$$

   Kovarianzen und Eigenvektoren (blau):

   $$\left[\begin{array}{} .25 & .5 \\ .5 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .43 & -.9 \\ .9 & .43\end{array}\right]$$

2. Korrelationsmatrizen spiegeln die Kovarianzmatrizen der standardisierten Variablen wider. Die visuelle Überprüfung der standardisierten Variablen zeigt, warum in meinem Beispiel identische Eigenvektoren extrahiert werden:

Sie müssen keine PCA über die Korrelationsmatrix durchführen. Sie können auch die Kovarianzmatrix zerlegen. Beachten Sie, dass diese normalerweise unterschiedliche Lösungen ergeben. (Weitere Informationen hierzu finden Sie unter: PCA zu Korrelation oder Kovarianz? )

${\rm Cov}_{xy} / {\rm SD}_x{\rm SD}_y$

Wenn Sie mit diesen Gruppen PCA unter Verwendung der Kovarianzmatrizen durchführen, erhalten Sie ein anderes Ergebnis als bei Verwendung der Korrelationsmatrizen.