Warum funktioniert Faltung?

Ich weiß also, wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen , können wir sie aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und berechnen , indem wir sagen $X + Y$ $X$ $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

Intuitiv ist dies sinnvoll, denn wenn wir die Wahrscheinlichkeit , dass zwei Zufallsvariablen Summe finden wollen , es ist im Grunde die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse, das zu diesen Variablen führen zu Summieren . Aber wie kann ich diese Aussage formell beweisen? $a$ $a$

probability

— Jessica
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Etwas andere Frage, aber die Antwort ist ähnlich .

— Carl

Antworten:

Die allgemeinere Lösung berücksichtigt wobei und nicht unbedingt unabhängig sind. Eine gängige Lösungsstrategie für Probleme, bei denen Sie sich fragen, woher ein PDF stammt oder wie Sie es rechtfertigen können, besteht darin, stattdessen wahrscheinlich eine Kumulierung zu finden und dann zu differenzieren, um die CDF auf ein PDF zu reduzieren. $Z = X + Y$ $X$ $Y$

Es ist ziemlich leicht zu erkennen, dass in diesem Fall wobei der Bereich der - Ebene ist, für den . $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

Dies ist der blau schraffierte Bereich im folgenden Diagramm. Es ist natürlich, sich über diese Region zu integrieren, indem man sie in Streifen zerlegt - ich habe es mit vertikalen Streifen gemacht, aber horizontale werden es tun. Tatsächlich erhalte ich für jede -Koordinate einen Streifen im Bereich von bis , und entlang jedes Streifens möchte ich, dass die Werte nicht über die Linie steigen , also . $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

$x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

$z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

$X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

$u$ $x$

Meine Notation für die Integrale folgt genau Abschnitt 6.4 von Geoffrey Grimmett und Dominic Walsh, Wahrscheinlichkeit: Eine Einführung , Oxford University Press, New York, 2000.

— Silberfisch
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\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

Ich bin ständig amüsiert darüber, wie wir an der Schnittstelle vieler Felder widersprüchlichen Konventionen ausgesetzt sind. Es ist eine der Freuden, mit Menschen mit unterschiedlichem Hintergrund zu arbeiten.

— whuber

@whuber Ich bin mir bewusst, dass die Konventionen für die Festlegung von Integralen von Land zu Land sehr unterschiedlich sind - Sie werden dies von Tex SE tex.stackexchange.com/a/88961/25866 genießen und ich wünschte, es würde erweitert, um die Mehrfachintegration abzudecken!

— Silverfish

$X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

$a$

$z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

$\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

$I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

wie gewünscht.

$X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

$X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

Dies schließt beispielsweise die üblichen Formeln für diskrete Zufallsvariablen ein, wenn auch in einer etwas anderen Form als üblich (da dies eher in Form der CDFs als der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen angegeben wird).

$a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— whuber
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