Wann, wenn überhaupt, ist eine Medianstatistik eine ausreichende Statistik?

Auf The Chemical Statistician stieß ich auf die Bemerkung, dass ein Probenmedian oft die Wahl für eine ausreichende Statistik sei, aber abgesehen von dem offensichtlichen Fall von ein oder zwei Beobachtungen, bei denen er dem Probenmittelwert entspricht, kann ich mir keinen anderen nicht-trivialen und iid vorstellen Fall, in dem der Stichprobenmedian ausreicht.

— Xi'an
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Wollten Sie schreiben, "dass ein Stichprobenmedian oft sein könnte"?

— Juho Kokkala

Das ist eine interessante Frage. Das doppelte Exponential hat den Median für einen ML-Schätzer seines Standortparameters, ist aber nicht ausreichend.

— Glen_b -Reinstate Monica

In dem Fall, dass die Unterstützung der Verteilung nicht von dem unbekannten Parameter θ abhängt, können wir das (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman- Theorem aufrufen , nämlich dass die Dichte der Beobachtungen notwendigerweise von der exponentiellen Familienform zu folgern, dass, da die natürliche ausreichende Statistik auch minimal ausreichend ist, dann sollte der Median eine Funktion von , was unmöglich ist: Das Modifizieren eines Extremums in den Beobachtungen , modifiziert , aber modifiziert den Median nicht.

\exp {θ T (x) - ψ (θ)} h (x)

$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$

S = \sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$

S

$S$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

n > 2

$n>2$

S

$S$

In dem alternativen Fall, in dem die Unterstützung der Verteilung von dem unbekannten Parameter & thgr; abhängt, können wir den Fall betrachten, in dem wobei die Menge ;, die durch indiziert ist, die Unterstützung von . In diesem Fall impliziert der Faktorisierungssatz, dass eine 0-1-Funktion des Stichprobenmedians Hinzufügen einer weiteren Beobachtung welcher Wert so ist, dass er den Stichprobenmedian nicht ändert, führt dann zu einem Widerspruch, da er sich innerhalb oder außerhalb des Unterstützungssatzes befinden kann, während

f (x | θ) = h (x) I_{A_{θ}} (x) τ (θ)

$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$

A_{θ}

$A_\theta$

f

$f$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i})

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i}) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n}))

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

I_{B_{θ}^{n + 1}} (med (x_{1 : n + 1})) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n})) \times I_{A_{θ}} (x_{n + 1})

$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$

— Xi'an
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Was ist gesetzt ?

B_{θ}^{n}

$B_\theta^n$

— x 89 g2,

Es ist die Unterstützung des Medians.

— Xi'an