Von der Identifizierung zur Schätzung

Ich lese gerade Pearl's Stück (Pearl, 2009, 2. Auflage) über Kausalität und den Kampf, um den Zusammenhang zwischen der nichtparametrischen Identifizierung eines Modells und der tatsächlichen Schätzung herzustellen. Leider schweigt Pearl selbst zu diesem Thema sehr.

Als Beispiel habe ich ein einfaches Modell mit einem Kausalpfad und einem Confounder im Sinn , der alle Variablen , und . Außerdem sind und durch unbeobachtete Einflüsse . Durch die Regeln des Do-Calculus weiß ich jetzt, dass die (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung nach der Intervention gegeben ist durch: $x \rightarrow z \rightarrow y$ $w \rightarrow x$ $w \rightarrow z$ $w \rightarrow y$ $x$ $y$ $x \leftarrow \rightarrow y$

P (y ∣ d o (x)) = \sum_{w, z} [P (z ∣ w, x) P (w) \sum_{x} [P (y ∣ w, x, z) P (x ∣ w)]] .

$P(y \mid do(x)) = \sum_{w,z}\bigl[P(z\mid w,x)P(w)\sum_{x}\bigl[P(y\mid w,x,z)P(x\mid w)\bigr]\bigr].$

Ich weiß, wie ich diese Menge schätzen kann (nicht parametrisch oder durch Einführung parametrischer Annahmen). Insbesondere für den Fall, dass eine Menge mehrerer verwirrender Variablen ist und interessierende Größen kontinuierlich sind. Die Schätzung der gemeinsamen Verteilung der Daten vor der Intervention erscheint in diesem Fall sehr unpraktisch. Kennt jemand eine Anwendung der Methoden von Pearl, die sich mit diesen Problemen befasst? Ich würde mich sehr über einen Hinweis freuen. $w$

estimation references causality

— PHU
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Wenn Sie unbeobachtete Faktoren haben, die sowohl x als auch y beeinflussen, können Sie dies meiner Meinung nach nicht abschätzen, ohne x tatsächlich zufällig zu bestimmen. Aber obwohl ich ziemlich viel über den kontrafaktischen Ansatz zur Kausalität weiß, bin ich mit Perles Do-Kalkül nicht so vertraut (ich arbeite immer noch selbst an seinem Buch).

— Ellie

Das ist eine sehr gute Frage. Lassen Sie uns zunächst überprüfen, ob Ihre Formel korrekt ist. Die von Ihnen angegebenen Informationen entsprechen dem folgenden Kausalmodell:

$P(Y|do(X))$ causaleffectigraph

library(igraph)
g <- graph.formula(X-+Y, Y-+X, X-+Z-+Y, W-+X, W-+Z, W-+Y, simplify = FALSE)
g <- set.edge.attribute(graph = g, name = "description", index = 1:2, value = "U")

X-+Y, Y-+X $X$ $Y$

Dann fragen wir nach unserer Schätzung:

library(causaleffect)
cat(causal.effect("Y", "X", G = g, primes = TRUE, simp = T, expr = TRUE))

\sum_{W, Z} (\sum_{X^{'}} P (Y | W, X^{'}, Z) P (X^{'} | W)) P (Z | W, X) P (W)

$\sum_{W,Z}\left(\sum_{X^{\prime}}P(Y|W,X^{\prime},Z)P(X^{\prime}|W)\right)P(Z|W,X)P(W)$

Was in der Tat mit Ihrer Formel übereinstimmt - ein Fall von Haustür mit einem beobachteten Störfaktor.

$X \rightarrow Z \rightarrow Y$

Simulieren wir einige Daten:

set.seed(1)
n <- 1e3
u <- rnorm(n) # y -> x unobserved confounder
w <- rnorm(n)
x <- w + u + rnorm(n)
z <- 3*x + 5*w + rnorm(n)
y <- 7*z + 11*w + 13*u + rnorm(n)

$X$ $Y$ $Y \sim Z+W+X$ $Z$ $Y$ $Z \sim X + W$ $X$ $Z$

yz_model <- lm(y ~ z + w + x)
zx_model <- lm(z ~ x + w)

yz <- coef(yz_model)[2]
zx <- coef(zx_model)[2]
effect <- zx*yz
effect
       x 
21.37626

Und als Schlussfolgerung können Sie den (asymptotischen) Standardfehler des Produkts berechnen:

se_yz <- coef(summary(yz_model))[2, 2]
se_zx <- coef(summary(zx_model))[2, 2]
se <- sqrt(yz^2*se_zx^2 + zx^2*se_yz^2)

Welche Sie für Tests oder Konfidenzintervalle verwenden können:

c(effect - 1.96*se, effect + 1.96*se) # 95% CI
       x        x 
19.66441 23.08811

Sie können auch eine (nicht / halb) parametrische Schätzung durchführen. Ich werde versuchen, diese Antwort einschließlich anderer Verfahren später zu aktualisieren.

— Carlos Cinelli
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