Erwartete Anzahl unterschiedlicher Farben beim Zeichnen ohne Ersatz

Man betrachte eine Urne mit $N$ Kugeln mit $P$ verschiedenen Farben, wobei $p_i$ der Anteil der Kugeln mit der Farbe $i$ unter den $N$ Kugeln ist ( $\sum_i p_i = 1$ ). Ich zeichne $n \leq N$ Kugeln aus der Urne ohne Ersatz und Blick auf die Anzahl $\gamma$ verschiedener Farben unter den Kugeln , die gezogen wurden. Was ist die Erwartung von $\gamma$ als Funktion von $n/N$ in Abhängigkeit von geeigneten Eigenschaften der Verteilung $\mathbf{p}$ ?

Um mehr Einblick zu geben: wenn $N = P$ und $p_i = 1/P$ für all $i$ , dann werde ich immer genau sehen , $n$ Farben, das heißt, $\gamma = P (n/N)$ . Andernfalls kann gezeigt werden , dass die Erwartung von $\gamma$ ist $>P(n/N)$ . Für festes $P$ und $N$ scheint der Faktor, mit dem multipliziert wird $n/N$, maximal zu sein, wenn $\mathbf{p}$ist einheitlich; vielleicht ist die erwartete Anzahl verschiedener Farben als Funktion von und z. B. der Entropie von p begrenzt ?$n/N$$\mathbf{p}$

Dies scheint mit dem Problem des Kuponsammlers verbunden zu sein, mit der Ausnahme, dass die Probenahme ersatzlos durchgeführt wird und die Verteilung der Kupons nicht gleichmäßig ist.

Angenommen , Sie haben Farben , bei denen k ≤ N . Lassen b i die Anzahl der Kugeln Farbe bezeichnen i so Σ b i = N . Sei B = { b 1 , … , b k } und notiere E i ( B ) die Menge, die aus den i- Element-Teilmengen von B besteht . Lassen Q n , c bezeichnen die Anzahl der Möglichkeiten können wir wählen $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$Elemente aus der obigen Menge, so dass die Anzahl der verschiedenen Farben in der gewählten Menge . Für c = 1 ist die Formel einfach:$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

Für wir Sätze von Kugeln der Größe n zählen, die höchstens 2 Farben haben, abzüglich der Anzahl von Sätzen, die genau 1 Farbe haben:$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

$\binom{k - 1}{1}$ is the number of ways you can add a color to a fixed color such that you will have 2 colors if you have $k$ colors in total. The generic formula is if you have $c_1$ fixed colors and you want to make $c_2$ colors out of it while having $k$ colors in total($c_1 \leq c_2 \leq k$) is $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$. Now we have everything to derive the generic formula for $Q_{n, c}$:

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

$c$$n$ balls is:

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

Also note that $\binom{x}{y} = 0$ if $y > x$.

Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.

The expected value you're looking for the number of colors dependent on $n$ is the following:

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$