Was bedeutet und ?

Ich habe Mühe, eine Notation in einem Buch vollständig zu verstehen, in dem ein "Fadenkreuz" -Symbol verwendet wird - erstens wie wobei die Matrizen sind, und zweitens wie wo und sind beide Matrizen. $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ $Z_j$ $I_n \otimes \Phi$ $I_n$ $\Phi$

Das Buch befasst sich mit multivariaten Statistiken und der Abschnitt befasst sich mit Zufallskoeffizientenmodellen. Es gibt keinen Anhang zur Notation / Terminologie, auf den Bezug genommen werden kann. Ich wollte ein digitales Bild der Seite veröffentlichen, damit Benutzer den Kontext sehen können (dies ist am Anfang des Abschnitts).

Ist das hier also ein Thema oder sollte ich auf math.se posten?

Update: Ich habe dies ursprünglich auf meta.se gepostet und es wurde hier migriert. Ich füge jetzt das Foto von der entsprechenden Seite des Buches hinzu. Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

mathematical-statistics mixed-model notation

— Joe King
quelle

\oplus

$\oplus$ , direkte Summe ; , Tensor-Produkt .

\otimes

$\otimes$

— whuber

@whuber danke! Genau das brauchte ich. Wollten Sie daraus eine Antwort machen, damit ich sie akzeptieren kann?

— Joe King

Ich bin jetzt zu beschäftigt, Joe - eine echte Antwort würde erklären, was diese Dinge sind, anstatt auf Links zurückzugreifen. Wenn jemand die Details in einer Antwort angeben möchte, würde ich gerne darüber abstimmen, aber in der Zwischenzeit bin ich froh, dass Sie mit Ihrer Lektüre fortfahren können.

— whuber

@whuber OK Ich werde das digitale Bild hochladen, das ich erwähnt habe, um mehr Kontext zu geben

— Joe King

In der Statistik ist und (z. B. für eine Matrix )

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$

2 \times 2

$2\times 2$

A

$A$

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Dies konzentriert sich auf Matrizen für ihre Verwendung in Statistiken als Entwurfs- oder Hypothesenmatrizen usw., wobei diese Notationen die häufige Blockstruktur solcher Matrizen vereinfachen. Den Namen Kronecker sum for und Kronecker product for findet man insbesondere in den Handbüchern der Statistiksoftware. (Ebenfalls sehr praktisch ist die komponentenweise Matrixmultiplikation für gleich geformte Matrizen. Sie wird manchmal als Hadamard-Produkt bezeichnet.) $\oplus$ $\otimes$ $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$

In der Mathematik haben und ihre leicht unterschiedliche typische Bedeutung als direkte Summe oder Tensorprodukt von Vektorräumen oder noch allgemeineren algebraischen Strukturen. $\oplus$ $\otimes$

— Horst Grünbusch
quelle

Die statistische Bedeutung ist identisch mit der mathematischen Bedeutung der direkten Summe und des Tensorprodukts linearer Transformationen : Diese Formeln ergeben sich aus dem Ausschreiben der Transformationen als Matrizen auf einer bestimmten Basis.

— whuber

Der Satz besagt, dass die Menge von Matrizen isomorph zu der Menge von linearen Transformationen von einem dimensionalen zu einem dimensionalen Vektorraum ist. In der Vektorraumwelt haben Sie also Recht. Eine direkte Summe besteht aber auch zwischen Strukturen wie Gruppen. In der Statistik ist letzteres normalerweise nicht gemeint.

n \times m

$n\times m$

m

$m$

n

$n$

— Horst Grünbusch

@whuber Als ich das erste Mal danach suchte, stieß ich auf [this] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ), was mich ziemlich verwirrte und mich dazu veranlasste, die Frage im Lebenslauf zu stellen. Zeigt dieser Link tatsächlich die gleiche Verwendung, weil der dort akzeptierte Anser sagt, dass es sich um eine "nicht tragende Addition" handelt?

— Joe King

@ HorstGrünbusch Ich wollte Sie nur auf den Kommentar aufmerksam machen, den ich gerade über Toe Whuber gemacht habe - auch wenn Sie Ihre Antwort aktualisieren könnten, um zu reflektieren, wie die Bedeutungen in der Statistik heißen, würde ich sie gerne akzeptieren.

— Joe King

\oplus

$\oplus$