Cantellis Ungleichheitsbeweis

Ich versuche folgende Ungleichung zu beweisen:

EDIT: Fast unmittelbar nachdem ich diese Frage gestellt hatte, stellte ich fest, dass die Ungleichung, die ich beweisen soll, Cantellis Ungleichung heißt. Als ich das aufschrieb, wusste ich nicht, dass diese besondere Ungleichung einen Namen hat. Ich habe über Google mehrere Beweise gefunden, daher brauche ich streng genommen keine Lösung mehr. Ich halte diese Frage jedoch aufrecht, da keiner der Beweise, die ich gefunden habe, die Tatsache , dass , wie ursprünglich beabsichtigt. $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

Für , $t \geq 0$

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

Unser Professor gab uns die folgenden "Hinweise", um dies herauszufinden: " zuerst das Problem unter der Annahme von und verwenden Sie dann die Tatsache, dass . " $E(X)=0$ $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

EDIT: Um klar zu sein, bezieht sich in meiner Notation auf die Indikatorfunktion. $\mathbb{I}$

Der erste Teil ist ziemlich einfach. Es ist im Grunde eine Variation des Beweises für Markovs oder Chebychevs Ungleichung. Ich habe es wie folgt gemacht:

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

(Ich weiß, dass wir bei der Bewertung eines Integrals eigentlich durch und durch ersetzen sollten . Um ehrlich zu sein, finde ich diese Notation / Konvention jedoch unnötig verwirrend und nicht schrecklich transparent, also bleibe ich bei meiner informelleren Notation.) $x$ $u$ $f(x)$ $f_x(u)$

Wenn wir annehmen , vereinfacht sich das Obige zu $E(X)=0$

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

Der Kürze halber werde ich einige Schritte überspringen, aber das ist dann leicht zu zeigen

$V(X)\geq t^2 P(X>t)$ oder vielmehr . Da , können wir das auf der linken Seite des letzteren durch ersetzen . $P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$ $E(X)=0$ $X$ $X-E(X)$

Hier habe ich Probleme, mich vorwärts zu bewegen. Ich verstehe nicht, wie ich mit der Tatsache , dass . Wieder da , können wir in substituieren für . Dies entspricht . Dann können wir das im Nenner auf der rechten Seite der Ungleichung als , was sich, da der mittlere Term abfällt, zu vereinfacht. . Aber ich sehe auch nicht, wohin ich von hier aus gehen kann. Sie können dies jedoch weiter als umschreiben , wodurch ich zumindest den Term an der richtigen Stelle bekomme. $t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$ $E(X)=0$ $t-E(X)$ $t$ $E(t-X)$ $t^2$ $[E(t-X)]^2$ $t^2-[E(X)]^2$ $t^2+V(X)-E(X^2)$ $V(X)+t^2$

fehlt mir hier etwas, das mit , aber ich habe ehrlich gesagt einfach keine Ahnung, was ich mit diesem Begriff . Ich verstehe konzeptionell, was dieser Begriff mir sagt. Intuitiv wird der erwartete Wert von kleiner als die gleiche Menge sein, wenn beschränkt ist, streng kleiner als ; Das heißt, der erstere Begriff ist wahrscheinlich negativ, während der letztere positiv sein muss. Aber ich sehe nicht, wie ich diese Tatsache im Beweis verwenden kann. $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$ $t-X$ $X$ $t$

Ich habe versucht, auf der Innenseite zu "verteilen", um zu vereinfachen ...

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

bin mir jedoch nicht sicher, wie bewerten soll . $E(X\mathbb{I}_{X<t}]$

Hat jemand eine Idee oder einen Hinweis?

— Ryan Simmons
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In dieser Antwort finden Sie einen Beweis für eine allgemeinere Version der manchmal einseitigen Chebyshev-Ungleichung (oder der einseitigen Chebyshev-Cantelli-Ungleichung oder der Cantelli-Ungleichung usw., je nachdem, welches Buch Sie lesen).

— Dilip Sarwate

Ich wünschte wirklich, Sie hätten diese andere Frage nicht gelöscht. Es ist weitaus besser, eine Antwort darauf gepostet zu haben, damit andere von den Vorschlägen in den Kommentaren sowie von der Antwort profitieren können und Sie möglicherweise von weiteren Kommentaren profitieren. Beachten Sie zum Beispiel, dass , also viermal größer ist, als es sein muss.

p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

$p(1-p) \leq \frac{1}{4}$

1

$1$

— Glen_b -Rate State Monica

Integral (x (fx)) im Intervall (t, inf)

Wenn , folgt und . $Y=X-\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[Y]=0$ $\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$

Für gilt unter Verwendung der Markovschen Ungleichung Minimieren: ergibt , und das Ergebnis folgt: $t,u>0$

Pr (Y \geq t) = Pr (Y + u \geq t + u) \leq Pr ((Y + u)^{2} \geq (t + u)^{2})

$\Pr(Y\geq t) = \Pr(Y+u\geq t+u) \leq \Pr((Y+u)^2\geq (t+u)^2)$

\leq \frac{E [(Y + u)^{2}]}{(t + u)^{2}} = \frac{σ^{2} + u^{2}}{(t + u)^{2}} =: φ (u) .

$\leq \frac{\mathbb{E}[(Y+u)^2]}{(t+u)^2} = \frac{\sigma^2+u^2}{(t+u)^2}=:\varphi(u).$

φ^{'} (u) = 0

$\varphi'(u)=0$

u = σ^{2} / t

$u=\sigma^2/t$

Pr (X - E [X] \geq t) \leq \frac{σ^{2}}{σ^{2} + t^{2}} .

$\Pr(X-\mathbb{E}[X]\geq t) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}.$

— Zen
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Das ist in der Tat der richtige Ansatz, wie ich vor fast einem Jahr herausgefunden habe, aber vergessen habe, zurück zu kommen und diese Frage zu bearbeiten, um die Antwort aufzunehmen. Aus irgendeinem Grund gibt CrossValidated mir einen Fehler, wenn ich versuche, dies als die richtige Antwort zu akzeptieren, um Ihnen dies zu würdigen.

— Ryan Simmons