Entspricht jede halbpositive bestimmte Matrix einer Kovarianzmatrix?

Es ist bekannt, dass eine Kovarianzmatrix halbpositiv definitiv sein muss. Ist das Gegenteil der Fall?

Das heißt, entspricht jede halbpositive bestimmte Matrix einer Kovarianzmatrix?

covariance matrix

— Jingjings
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Wenn ich mich hier an die Definitionen von PD und PSD halte, denke ich schon, da wir dies konstruktionsbedingt tun können. Ich gehe für ein etwas einfacheres Argument davon aus, dass Sie es für Matrizen mit realen Elementen meinen, aber mit entsprechenden Änderungen würde es sich auf komplexe Matrizen erstrecken.

Sei eine echte PSD-Matrix; Von der Definition, mit der ich verlinkt habe, wird es symmetrisch sein. Jede reelle symmetrische positive definitive Matrix kann als . Dies kann durch $A$ $A$ $A = LL^T$ wennmit orthogonalemund Diagonaleund $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ als Matrix der Komponente wise Quadratwurzeln. Es muss also nicht der volle Rang sein. $\sqrt{D}$ $D$

Sei eine Vektor-Zufallsvariable der entsprechenden Dimension mit der Kovarianzmatrix (die einfach zu erstellen ist). $Z$ $I$

Dann hat Kovarianzmatrix . $LZ$ $A$

[Zumindest ist das theoretisch. In der Praxis gibt es verschiedene numerische Probleme, mit denen Sie sich befassen müssen, wenn Sie gute Ergebnisse erzielen möchten, und aufgrund der üblichen Probleme bei der Gleitkommaberechnung erhalten Sie nur ungefähr das, was Sie benötigen. das heißt, die Varianz eines berechneten würde in der Regel nicht genau . Aber so etwas ist immer ein Problem, wenn wir Dinge tatsächlich berechnen wollen.] $LZ$ $A$

— Glen_b - Monica neu starten
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Es stimmt zwar, dass eine Zerlegung

ohne vollen Rang möglich ist, funktioniert der Cholesky - Algorithmus nur mit herkömmlichen

. Ohne vollen Rang kann es also keine Cholesky-Zerlegung sein. Computergestützt könnte man diese Zerlegung im Singularfall durch Diagonalisierung durchführen. (Obwohl dies weitaus teurer ist)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: Warum sollte

unteres Dreieck sein?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— Amöbe sagt Reinstate Monica

@amoeba Man könnte es zwar so organisieren, aber es muss nicht dreieckig sein, damit das Argument funktioniert - es ist eine Funktion des Cholesky, aber es ist nicht erforderlich, damit das Ergebnis funktioniert.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen Ist Symmetrie eine notwendige Bedingung, um PSD zu sein, oder ist diese Definition eine von vielen?

— 114

@ 114 für die Beziehung zwischen symmetrisch und PSD siehe math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Frank