wobei

Ich versuche, die Erwartung für beliebiges c < 0 zu berechnen (für c > 0 ist die Erwartung unendlich), wenn X logarithmisch verteilt ist, dh log ( X ) ∼ N ( μ , σ ) .

$$E[e^{cX}]$$ $c<0$$c>0$$X$$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Meine Idee war es, die Erwartung als Integral zu schreiben, aber ich sah nicht, wie ich vorgehen sollte:

$$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

Ich habe auch die Itô-Formel ausprobiert (die eigentliche Aufgabe besteht darin, wobei X eine geometrische Brownsche Bewegung ist, aber sie reduziert sich auf das obige Problem, weil wir einen Markov-Prozess betrachten). aber das sah auch nicht sehr vielversprechend aus. Kann mir jemand helfen?$E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$$X$

Was Sie wollen, ist die Momenterzeugungsfunktion einer logarithmischen Normalvariablen, von der bekannt ist, dass sie ein schwieriges Problem darstellt. Alternativ ist dies die Laplace-Transformation, bei der durch - c ersetzt wird . Sie sollten einen Blick auf https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution werfen, der einige nützliche Informationen enthält.$c$$-c$

Die Arbeit "Über die Laplace-Transformation der logarithmischen Normalverteilung" von Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen und Leonardo Rojas-Nandayapa geben die folgende Annäherung, die sie im Detail untersuchen. Sei lognormal mit Parametern ( μ , σ 2 ) , was bedeutet, dass X = e Y mit Y ∼ N ( μ , σ 2 ) . Die Laplace-Transformation ist E ( exp ( - θ e y ) = e - θ μ$X$$(\mu, \sigma^2)$$X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ wobei Y 0 ∼ N ( 0 , σ 2 ) . Wir betrachten also die Laplace-Transformation L ( θ ) = E ( exp ( - θ e Y 0 ) . Dann geben sie die Näherung an L. ( θ ) :

$$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$ $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$L(\theta)$ wobeiθ nicht negativist. Hier istWdie Lambert W-Funktion, siehehttps://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Dann untersucht das Papier die Qualität dieser Näherung und vergleicht sie mit älteren Näherungen.) $$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$$ $\theta$$W$