Wie ist die Verteilung des Verhältnisses zweier Poisson-Zufallsvariablen?

Ich habe eine Frage zu Zufallsvariablen. Nehmen wir an , dass wir zwei Zufallsvariablen und . Nehmen wir an, ist Poisson-verteilt mit Parameter und ist Poisson-verteilt mit Parameter $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$ .

Wenn Sie die Fraktur aus erstellen und diese Variable als Zufallsvariable , wie ist diese verteilt und was ist der Mittelwert? Ist es ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
quelle

Ich bin zufällig darauf gestoßen, als ich nach Referenzen gesucht habe. Die Inferenz für das Poisson-Verhältnis ist für Frequentisten ( Nelson, 1970, "Confidence Intervals for the Ratio of Two Poisson Means and Poisson Predictor Intervals" ) und Bayesianer gleichermaßen (Lindley, 1965) recht einfach . Auch mit Null-Nennern kein Problem!

— Frank Tuyl

Der ursprüngliche Fragesteller und andere könnten daran interessiert sein, festzustellen, dass

einen Erwartungswert

. Je nach Anwendung kann dies von größerem Nutzen sein als

. Weitere Einzelheiten finden Sie in meinem Aufsatz im Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, mit dem Titel "Statistical Bias in Isotopenverhältnissen" mit DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Dies ist ein häufig auftretendes Problem in der Astronomie. Die Bayes'sche Lösung wurde von Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Sie beziehen Hintergrundkontaminationen in ihre Behandlung ein.

— user78543

Aus der Zusammenfassung ist nicht ersichtlich, dass sie sich mit der Frage des OP befassen. In welcher Beziehung steht diese Arbeit zur Verteilung des Verhältnisses zweier Poisson-Zufallsvariablen?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Antworten:

Ich denke, du wirst ein Problem damit haben. Da die Variable Y Nullen hat, hat X / Y einige undefinierte Werte, sodass Sie keine Verteilung erhalten.

— bill_080
quelle

+1 That's right. But (to head off possible confusion) the problem isn't just that

Y

$Y$ can equal

0

$0$ : it's that it can equal

0

$0$ with positive probability. (For instance, a quotient of normals does have a distribution even though the denominator can equal

0

$0$ .) Thus,

X / Y

$X/Y$ is undefined with positive probability, making its mean (and any other moment) undefined as well.

— whuber

+1, but in the literature on false discovery rates people have no problem with

X / Y

$X/Y$ where

X

$X$ is the true positives and

Y

$Y$ is the total number of positives :-). It is always understood, by convention, that 0 out of 0 equals 0.

— NRH

@Mark: It's probably better to ask that as a new question, and to get real specific about what you're trying to achieve.

— bill_080

@NRH In your case there is a strong dependence of

X

$X$ on

Y

$Y$ . That completely changes things, because now the probability of a positive:zero ratio is nil.

— whuber

@whuber, that's of course right. Thanks for pointing that out. I was just thinking that maybe there was some unstated convention to make the problem meaningful. But from @MarkDollar's comment above it seems that that was not the case to begin with.

— NRH

By realizing that the ratio is in fact not a well defined measurable set, we redefine the ratio as a properly measurable set

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$ where the summation follows as long as

r > 0

$r > 0$ , and

X

$X$ and

Y

$Y$ are independent Poisson variables. The density follows from the Radon-Nykodym theorem.

— Aaron Sheldon
quelle

Suppose that

Y

$Y$ comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:

— Brash Equilibrium