Vorteil mehrerer Simulationen im altmodischen Monte Carlo?

Der Geist dieser Frage kommt von "Ordinary Monte Carlo", auch bekannt als "gutes altmodisches Monte Carlo".

Angenommen, ich habe eine Zufallsvariable mit $X$

μ := E [X] σ^{2} := V a r [X]

$\mu := E[X]\\ \sigma^2:=Var[X]$

Beide sind unbekannte Werte, da die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion von unbekannt ist (oder die Berechnungen nicht durchführbar sind). $X$

Nehmen wir in beiden wir können irgendwie Zeichnungen (diese sind unabhängig und identisch verteilt) von der Verteilung von simulieren . Definieren wir die Beispielparameter $n$ $X_1,X_2,\dots,X_n$ $X$

{\hat{μ}}_{n} := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} {\hat{σ}}_{n}^{2} := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\hat{μ}}_{n})^{2}

$\hat{\mu}_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ \hat{\sigma}_n^2 : = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\hat{\mu}_n)^2$

Nach dem zentralen Grenzwertsatz wird der Stichprobenmittelwert , wenn sehr groß wird, einer Normalverteilung genau folgen $n$ $\hat{\mu}_n$

\hat{μ} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\hat{\mu} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Bevor wir Konfidenzintervalle berechnen können, gibt der Autor an, dass wir, da wir nicht kennen , die Schätzung vornehmen werden , genauer gesagt für eine unvoreingenommene Schätzung , und wir können von dort aus mit Standardtechniken fortfahren. $\sigma^2$ $\sigma^2 \approx \hat{\sigma}^2$ $\sigma^2 \approx \frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2$

Während der Autor die Wichtigkeit von ausreichend groß erwähnt ( Anzahl der Ziehungen pro Simulation), wird die Anzahl der Simulationen und ihre Auswirkung auf unser Vertrauen nicht erwähnt. $n$

Gibt es einen Vorteil beim Ausführen von Simulationen ( jedes Mal Zeichnen), um mehrere Stichprobenmittel zu erhalten? , und verwenden Sie dann die Mittel der Mittel, um unsere Schätzungen und unser Vertrauen in das unbekannte von ? $k$ $n$ $\hat{\mu}_{n,1}, \hat{\mu}_{n,2}, \dots \hat{\mu}_{n,k}$ $\mu,\sigma$ $X$

Oder reicht es aus, in einer einzigen Simulation nur Abtastwerte aus zu ziehen , solange ausreichend groß ist? $n$ $X$ $n$

probability monte-carlo computational-statistics

— jII
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Solange Probleme bei der Erzeugung von Pseudozufallszahlen vermieden werden (siehe Anmerkung am Ende), sind die beiden Ansätze ( Simulationen mit Zügen vs. Einzelsimulation mit ausreichend großem ) hinsichtlich der Schätzung des Mittelwerts äquivalent . Beachten Sie in Bezug auf den Speicher, dass Sie im Fall von Simulationen die Beispielmittel speichern müssen, bevor Sie das ausführen endgültiger Mittelwert, während dies im einzelnen Simulationsszenario nicht der Fall ist. Bei modernen Computern sollte die Durchführung einer einzelnen Simulation mit ausreichend großem nicht schwieriger sein als zuvor beschrieben und in der Tat Zeit sparen. $k$ $n$ $n$ $k$ $\hat{\mu}_{n,1}, \dots, \hat{\mu}_{n,k}$ $n$

Der mathematische Grund jenseits der Äquivalenz ist die Linearität. Genauer gesagt berechnen Sie im Szenario mit Simulationen den "endgültigen" Stichprobenmittelwert wie folgt: wobei bezeichnet die Zieh nummerierte bei Simulation . Diese Anordnung ist willkürlich, wenn nichts Seltsames passiert. Sie können also jedes mit einem neuen Index neu beschriften , z. B. , und $k$ $\hat{\mu}$

\hat{μ} = \frac{1}{k} \sum_{h = 1}^{k} {\hat{μ}}_{n, h} = \frac{1}{k} \sum_{h = 1}^{k} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{(h)} = \frac{1}{n k} \sum_{h = 1}^{k} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{(h)}

$\hat{\mu} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \hat{\mu}_{n,h} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i = \frac{1}{nk} \sum_{h=1}^k \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i$

X_{i}^{(h)}

$X_i^{(h)}$

i

$i$

h

$h$

X_{i}^{(h)}

$X_i^{(h)}$

m = 1, \dots, n k

$m=1,\dots,nk$

\hat{μ} = \frac{1}{n k} \sum_{m = 1}^{n k} X_{m}

$\hat{\mu} = \frac{1}{nk} \sum_{m=1}^{nk} X_m$ Dies entspricht jedoch der Durchführung einer einzelnen Simulation mit Zeichnungen (offensichtlich müssen die Zeichnungen, wie bereits erwähnt, iid sein).

n k

$nk$

Hinweis: Mögliche Probleme mit PRNGs werden auf der Wikipedia-Seite beschrieben .

— PseudoRandom
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Gute Antwort! Ich hatte diese Erkenntnis kurz nach dem Posten gemacht. Und da die Varianz unserer Stichproben umgekehrt proportional zu (der Anzahl der Stichproben) ist, verbessert sich auch unser Vertrauen (zumindest theoretisch).

n

$n$

— jII