Wie leitet man die Poisson-Verteilung aus der Gamma-Verteilung ab?

Sei $T_1, T_2, \dots$ eine Folge exponentieller Zufallsvariablen mit dem Parameter $\lambda$ . Die Summe $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ ist eine Gammaverteilung. Soweit ich weiß, wird die Poisson-Verteilung durch $N_t$ wie folgt definiert:

N_{t} = max {k : S_{k} \leq t}

$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$

Wie zeige ich formal, dass eine Poisson-Zufallsvariable ist? $N_t$

Anregungen geschätzt. Ich habe versucht, eine Reihe von Beweisen auszuarbeiten, komme aber nicht zur endgültigen Gleichung.

Verweise

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

— user862
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@ user862, die Beweise, die ich aus der Hand kenne, sind nicht besonders direkt. Durrett hat eine Ableitung in seinem Wahrscheinlichkeitsbuch, die ziemlich sauber ist. Es dauert 3-4 Seiten, denke ich; Was, wenn Sie eines seiner Bücher gelesen haben, nach seinen Maßstäben ein langer Beweis ist. Resnick geht in seinem Text über stochastische Prozesse etwas abstrakter vor. Durch den Bau und den Einsatz größerer Hämmer kann er jedoch allgemeinere Ergebnisse erzielen. Ross hat zweifellos eine Behandlung in seinem Buch über stochastische Prozesse, aber ich bin damit nicht so vertraut.

— Kardinal

Fand den Beweis in Durretts Buch. Es wird wirklich klar erklärt. Danke für die Hinweise.

— user862

Ich bin sicher, dass Durretts Beweis nett ist. Eine einfache Lösung für die gestellte Frage lautet wie folgt.

Für $n \geq 1$

\begin{array}{rcl} P (N_{t} = n) & = & \int_{0}^{t} P (S_{n + 1} > t ∣ S_{n} = s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} P (T_{n + 1} > t - s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} \frac{λ^{n} s^{n - 1} e^{- λ s}}{(n - 1)!} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{λ^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{t} s^{n - 1} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$

Für gilt . $n = 0$ $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

Dies beweist nicht, dass ein Poisson-Prozess ist, der schwieriger ist, aber es zeigt, dass die Randverteilung von Poisson mit dem Mittelwert . $(N_t)_{t \geq 0}$ $N_t$ $\lambda t$

— NRH
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(+1) Das Ansprechen auf bedingte Dichten ist hier nicht unbedingt erforderlich. Beachten Sie, dass und wir müssen nur die Verbindungsdichte über den Bereich . Da und unabhängig sind, ist dies ein einfaches Unterfangen.

P (N_{t} = n) = P (S_{n} \leq t, S_{n + 1} > t) = P (S_{n} \leq t, S_{n} + T_{n + 1} > t)

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Pr(N_t = n) = \Pr(S_n \leq t, S_{n+1} > t) = \Pr(S_n \leq t, S_n + T_{n+1} > t)$

{(s_{n}, t_{n + 1}) : 0 \leq s_{n} \leq t, t_{n + 1} > t - s_{n}} \subset R^{2}

$\{(s_n, t_{n+1}): 0 \leq s_n \leq t, t_{n+1} > t - s_n\} \subset \mathbb{R}^2$

S_{n}

$S_n$

T_{n + 1}

$T_{n+1}$

— Kardinal

@cardinal - und wie ist die Antwort von @ NRH nicht einfach? In der Tat würde ich sagen, es ist einfacher, weil nur 1 Integration erforderlich ist.

— Wahrscheinlichkeitslogik

@probabilityislogic: Meine "einfache" Referenz war nur eine Bemerkung über die verbleibende Berechnung, die in meinem Kommentar nicht gezeigt wurde. Es war in keiner relativen Hinsicht in Bezug auf die Antwort von @ NRH gemeint.

— Kardinal

@probabilityislogic: In den ersten beiden Zeilen des @ NRH-Beweises verbirgt sich eine Menge (zusätzlicher) Theorie. Der Punkt meines Kommentars war, dass wir das gleiche Ergebnis erzielen können, wenn wir nur die Barebones gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwenden, nämlich nur das Produktmaß. Dies ist meines Erachtens eine grundlegend einfachere Grundlage für die Berechnung als die Einführung einer bedingten Erwartung und der Begründung, die erforderlich ist, um von Zeile eins zu zwei der Antwort von @ NRH zu gelangen. Ich meine nicht, dass ich als Kritik in irgendeiner Weise nur eine alternative Methode anbieten wollte.

— Kardinal