Konstruktion eines diskreten Wohnmobils mit allen Rationen in als Unterstützung

Dies ist die konstruktivistische Fortsetzung dieser Frage .

Wenn wir keine diskrete einheitliche Zufallsvariable haben können, die alle Rationen im Intervall als Unterstützung hat , dann ist die nächstbeste Sache: $[0,1]$

Konstruieren Sie eine Zufallsvariable , die diese Unterstützung hat, , und die einer gewissen Verteilung folgt . Und der Handwerker in mir verlangt, dass diese Zufallsvariable aus vorhandenen Verteilungen konstruiert wird, anstatt durch abstrakte Definition dessen, was wir erhalten möchten, erstellt zu werden. $Q$ $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Also habe ich mir folgendes ausgedacht:

Sei eine diskrete Zufallsvariable nach der geometrischen Verteilungsvariante II mit dem Parameter , nämlich $X$ $0<p<1$

X \in {0, 1, 2, . . .}, P (X = k) = (1 - p)^{k} p, F_{X} (X) = 1 - (1 - p)^{k + 1}

$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$

Sei auch eine diskrete Zufallsvariable nach der geometrischen Verteilungsvariante I mit identischem Parameter , nämlich $Y$ $p$

Y \in {1, 2, . . .}, P (Y = k) = (1 - p)^{k - 1} p, F_{Y} (Y) = 1 - (1 - p)^{k}

$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$

$X$ und sind unabhängig. Definieren Sie jetzt die Zufallsvariable $Y$

Q = \frac{X}{Y}

$Q = \frac {X}{Y}$

und betrachten Sie die bedingte Verteilung

P (Q \leq q ∣ {X \leq Y})

$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$

In losen Worten „conditional ist das Verhältnis von über abhängig kleiner oder gleich zu sein “ . Die Unterstützung dieser bedingten Verteilung ist . $Q$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Die "Frage" lautet: Kann jemand bitte die zugehörige bedingte Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bereitstellen?

Ein Kommentar fragte "sollte es geschlossen sein"? Da das, was heutzutage eine geschlossene Form darstellt, nicht so eindeutig ist, lassen Sie es mich so sagen: Wir suchen nach einer funktionalen Form, in die wir eine rationale Zahl aus und die Wahrscheinlichkeit (für einige) erhalten können spezifizierter Wert des Parameters natürlich), was zu einem indikativen Graphen der PMF führt. Und variieren Sie dann zu sehen, wie sich das Diagramm ändert. $[0,1]$ $p$ $p$

Wenn es hilft, können wir eine oder beide Grenzen des Supports öffnen, obwohl uns diese Varianten die Möglichkeit nehmen, die oberen und / oder unteren Werte des PMF definitiv grafisch darzustellen . Wenn wir die obere Schranke öffnen, sollten wir auch das Konditionierungsereignis berücksichtigen . $\{X<Y\}$

Alternativ begrüße ich auch andere Wohnmobile, die diese Unterstützung (en) haben, solange sie mit ihrer PMF zusammen kommen .

Ich habe die geometrische Verteilung verwendet, weil es ohne weiteres zwei Varianten gibt, wobei die eine keine Null in der Unterstützung enthält (sodass eine Division durch Null vermieden wird). Offensichtlich kann man andere diskrete rvs verwenden und dabei etwas abschneiden.

Ich werde mit Sicherheit eine Belohnung für diese Frage ausstellen, aber das System lässt dies nicht sofort zu.

distributions mathematical-statistics

— Alecos Papadopoulos
quelle

Meinen Sie damit ? (Das Definieren einer Zufallsvariablen als Bedingung für etwas macht keinen Sinn. Sie können ihre Verteilung nur auf diese Weise definieren.)

Q = \frac{X}{Y} 1_{{X \leq Y}}

$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— Stéphane Laurent,

Ihr Q ist zählbar: Sie wissen, dass zwischen N = {1, 2, ...} und Q eine 1: 1-Entsprechung besteht. Wenn Sie eine solche Entsprechung finden könnten, wäre die Lösung, eine Verteilung über N auszuwählen und diese zu verwenden um das entsprechende Element von Q auszuwählen.

— Adrian

Auf jeden Fall müssen Sie für jeden irreduziblen Bruch berechnen, und dies ist .

P r (X / Y = p / q)

$Pr(X/Y=p/q)$

p / q

$p/q$

Pr (X = p, X = 2 p, \dots) \times Pr (Y = q, Y = 2 q, \dots)

$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— Stéphane Laurent

Bedeutet die Anforderung, die PMF bereitzustellen,, dass eine geschlossene Form erforderlich ist? Oder reicht zB die unendliche Summe von @ StéphaneLaurent aus, um die Bedingung zu erfüllen?

— Juho Kokkala

Lassen Sie und Y das Wohnmobil in Ihrem Beitrag.

f : N \to Q \cap [0, 1]

$f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$

P r [Q = q] = P r [Y = f^{- 1} (q)]

$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— Adrian

Antworten:

Betrachten Sie die diskrete Verteilung mit Unterstützung für die Menge mit Wahrscheinlichkeitsmassen $F$ $\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

F (p, q) = \frac{3}{2^{1 + p + q}} .

$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$

Dies lässt sich leicht summieren (alle beteiligten Reihen sind geometrisch), um zu demonstrieren, dass es sich tatsächlich um eine Verteilung handelt (die Gesamtwahrscheinlichkeit ist Einheit).

Für jede von Null verschiedene rationale Zahl sei ihre niedrigste Repräsentation: und . $x$ $a/b=x$ $b\gt 0$ $\gcd(a,b)=1$

$F$ induziert über die Regeln eine diskrete Verteilung auf $G$ $[0,1]\cap \mathbb{Q}$

G (x) = G (\frac{a}{b}) = \sum_{n = 1}^{\infty} F (a n, b n) = \frac{3}{2^{1 + a + b} - 2} .

$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$

(und ). Jede rationale Zahl in hat eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null. (Wenn Sie unter den Werten mit positiver Wahrscheinlichkeit angeben müssen, entfernen Sie einfach einen Teil der Wahrscheinlichkeit von einer anderen Zahl - wie - und weisen Sie sie .) $G(0)=0$ $(0,1]$ $0$ $1$ $0$

Um diese Konstruktion zu verstehen, sehen Sie sich diese Darstellung von : $F$

[Figur von F]

$F$ gibt Wahrscheinlichkeitsmassen an allen Punkten mit positiven Integralkoordinaten an. Die Werte von werden durch die farbigen Bereiche der Kreissymbole dargestellt. Die Linien haben Steigungen für alle möglichen Kombinationen von Koordinaten und die im Plot erscheinen. Sie sind in der gleichen Weise gefärbt wie die Kreissymbole: entsprechend ihrer Neigung. Die Steigung (die eindeutig von bis ) und die Farbe entsprechen dem Argument von und den Werten von , indem die Flächen aller auf jeder Linie liegenden Kreise summiert werden. Zum Beispiel $p,q$ $F$ $p/q$ $p$ $q$ $0$ $1$ $G$ $G$ $G(1)$ ergibt sich durch Summieren der Flächen aller (roten) Kreise entlang der Hauptdiagonale der Steigung , gegeben durch = . $1$ $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

Zahl

Diese Abbildung zeigt eine Annäherung an die durch Begrenzen von : Sie zeichnet ihre Werte bei rationalen Zahlen im Bereich von bis . Die größten Wahrscheinlichkeitsmassen sind . $G$ $q\le 100$ $3044$ $1/100$ $1$ $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Hier ist die volle CDF von (genau auf die Auflösung des Bildes). Die sechs soeben aufgelisteten Zahlen geben die Größe der sichtbaren Sprünge an, aber jeder Teil der CDF besteht ausnahmslos aus Sprüngen: $G$

Figur 2

— whuber
quelle

Vielen Dank! Ich bin dabei, die Konstruktion zu verstehen. Nur zwei Fragen: a) ist bivariat, aber im Ausdruck, der es mit , erscheint es als univariat. Vermisse ich etwas? und b) Da univariat ist, stellen wohl alle Punkte in der eindrucksvoll aussehenden ersten Grafik einen anderen Wert auf der horizontalen Achse dar (obwohl dies auf einer solchen Skala natürlich nicht genau dargestellt werden kann), stimmt das?

F

$F$

G

$G$

G

$G$

— Alecos Papadopoulos

Ich habe gerade eine Abbildung fertiggestellt, die auf Ihren Kommentar eingehen könnte, Alecos, und sie der Antwort hinzugefügt. Man beachte, dass ich mit jeder diskreten Verteilung und auf dieselbe Weise konstruieren können; Diese Verteilung wurde gewählt, um die Berechnungen zu vereinfachen.

F

$F$

G

$G$

— Whuber

Wird besser und besser. Wie bei meiner ersten Frage im vorherigen Kommentar, sollte es anstelle von ? Dh dass und ?

F (\frac{a}{b}, n)

$F\left(\frac ab,n\right)$

F (\frac{a}{b} n)

$F\left(\frac abn\right)$

p = a / b

$p=a/b$

q = n

$q=n$

— Alecos Papadopoulos

Das ist eine bessere Antwort als meine! Ich habe zwei kleine Dinge bemerkt: Ich denke, dein F (p, q) summiert sich wie geschrieben auf 4. Auch in der folgenden Gleichung "F induziert eine diskrete Verteilung G" sollte F (na, nb) no?

— Adrian

@Adrian, Alecos Danke, dass du diese Tippfehler abgefangen hast: Die sollte eine und die Notation für offensichtlich falsch. Ich werde sie sofort reparieren.

1

$1$

- 1

$-1$

F

$F$

— Whuber

Ich fasse meine Kommentare zusammen und poste sie zur Klarheit als Antwort. Ich gehe jedoch davon aus, dass Sie nicht sehr zufrieden sein werden, da ich Ihr Problem nur auf ein anderes Problem beschränke.

Meine Notation:

$Q$ ist ein RV , deren Unterstützung ist - mein ist nicht das gleiche wie die die OP - Konstrukte aus seinem . Wir werden dieses mit und , die ich unten einführe. $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $Q$ $Q$ $\frac{X}{Y}$ $Q$ $Y$ $f$

$Y$ ist ein beliebiges Wohnmobil, dessen Unterstützung lautet - das vom OP angegebene würde beispielsweise funktionieren. $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ $Y$

$f$ ist eine beliebige Eins-zu-Eins-Entsprechung und ist ihre Umkehrung. Wir wissen, dass es diese gibt. $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $f^{-1}$

Jetzt behaupte ich, ich kann Ihr Problem darauf reduzieren, nur ein und sein : $f$ $f^{-1}$

Lass einfach und du bist fertig. Die PMF von ist . $Q=f\left(Y\right)$ $Q$ $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Bearbeiten:

Hier ist eine Funktion g, die die Rolle von , obwohl sie keine Eins-zu-Eins-Entsprechung ist (wegen Duplikaten): $f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

— Adrian
quelle

(+1) Nein, ich betrachte Ihren Ansatz als ein hervorragendes Beispiel dafür, wie man den abstrakten Ansatz denken und anwenden kann , um zu sehr zutreffenden Ergebnissen und Algorithmen zu gelangen. Der Hauptpunkt, wie ich es jetzt verstehe, ist, dass man die gewünschte Konstruktion erhalten kann, indem man die PMF einer beliebigen diskreten Verteilung mit der Unterstützung als funktionale Form verwendet . Natürlich bleibt und . Da Sie diesen Ansatz besser verstehen als ich, ist die Formulierung "Wir wissen, dass es diese gibt" eine höfliche Art zu sagen, "aber wir haben keine Ahnung, wie sie aussehen"? :)

N \equiv {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$

f

$f$

f^{- 1}

$f^{-1}$

— Alecos Papadopoulos

Siehe jcu.edu/math/vignettes/infinity.htm : Sie könnten ein ähnliches "Diagonalmuster" verwenden. Der schwierige Teil ist, einen Ausdruck für . Ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll, aber du kannst auf math.stackexchange.com nachfragen (oder erst noch etwas googeln).

f^{- 1}

$f^{-1}$

— Adrian

In dem Link, den Sie angegeben haben, heißt es irgendwann: "Beachten Sie, dass es nicht erforderlich ist, eine Formel für die Entsprechung zu finden; alles, was erforderlich ist, ist die Gewissheit, dass eine solche Entsprechung existiert. Es gibt in der Mathematik viele andere Fälle, die so sind - wo es darum geht zu zeigen, dass etwas passieren muss oder dass etwas existiert, anstatt tatsächlich eine Formel aufzuzeigen. " In meiner Frage geht es darum, tatsächlich eine Formel aufzuzeigen : Ich habe diese Frage aus einem bestimmten Grund als "konstruktivistisch" bezeichnet.

— Alecos Papadopoulos

Ich denke, ich kann einen Algorithmus bereitstellen, der funktionieren würde - ich werde ein bisschen mehr darüber nachdenken.

— Adrian

Ich habe etwas gepostet - lässt Sie Q simulieren, löst aber das PMF-Problem nicht.

— Adrian