Verteilung von "ungemischten" Teilen basierend auf der Reihenfolge der Mischung

Angenommen, ich habe Beobachtungen gepaart, die als für . Let und bezeichne der - ten größten beobachteten Wert von . Was ist die (bedingte) Verteilung von ? (oder gleichwertig das von ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

Das heißt, wie ist die Verteilung von abhängig ist, dass der te größte von beobachteten Werten von ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Ich vermute, dass als die Verteilung von nur zur bedingungslosen Verteilung von konvergiert , während als die Verteilung von konvergiert auf die bedingungslose Verteilung der - ten Ordnungsstatistik von . In der Mitte bin ich mir allerdings nicht sicher. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
quelle

Ich habe das Tag "Mischung" entfernt, da es sich um eine Frage zu einer Summe (oder äquivalent zu korrelierten Normalvariablen) handelt, nicht um eine Mischung aus diesen.

— whuber

X_{i}

$X_i$ wird auch unabhängig von

Y_{i}

$Y_i$ , ja?

— Kardinal

@ Cardinal: Ja, sie sind unabhängig.

— Shabbychef

Eine aktuelle und verwandte Frage, die auf math.SE aufgetaucht ist: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— Kardinal

Die auf math.SE veröffentlichte Lösung ist konzeptionell identisch mit der unten angegebenen Lösung - jedoch mit einer etwas anderen Terminologie formuliert.

— NRH

Antworten:

Beachten Sie, dass die Zufallsvariable nur eine Funktion von . Für einen Vektor schreiben wir für den Index der ten größten Koordinate. Es sei auch die bedingte Verteilung von $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ gegeben . $Z_1$

Wenn wir Wahrscheinlichkeiten nach dem Wert von aufschlüsseln und wrt desintegrieren, erhalten wir $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P. ({X.}_{{ich}_{j}} \in EIN) & = & \sum_{k} P. ({X.}_{k} \in EIN, {ich}_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{({ich}_{j} (z) = k)} P. ({X.}_{k} \in EIN ∣ Z. = z) P. (Z. \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{({ich}_{j} (z) = k)} P. ({X.}_{k} \in EIN ∣ {Z.}_{k} = z_{k}) P. (Z. \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{({ich}_{j} (z) = k)} {P.}_{z_{k}} (EIN) P. (Z. \in d z) \\ = & \int {P.}_{z} (EIN) P. ({Z.}_{{ich}_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Dieses Argument ist ziemlich allgemein und beruht nur auf den angegebenen iid-Annahmen, und könnte eine gegebene Funktion von . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

Unter den Voraussetzungen von Normalverteilungen (wobei ) und der Summe, die bedingte Verteilung von gegeben ist $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$ und @probabilityislogic zeigen, wie die Verteilung vonberechnet wird, daher haben wir explizite Ausdrücke für beide Verteilungen, die im letzten Integral oben eingegeben werden. Ob das Integral analytisch berechnet werden kann, ist eine andere Frage. Sie könnten es können, aber auf den ersten Blick kann ich nicht sagen, ob es möglich ist. Für eine asymptotische Analyse mitoderdies möglicherweise nicht erforderlich.

N. (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$

Die Intuition hinter der obigen Berechnung ist, dass dies ein bedingtes Unabhängigkeitsargument ist. Bei die Variablen und unabhängig. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
quelle

Die Verteilung von ist nicht schwierig und wird durch die Verteilung der Beta-F-Verbindungen angegeben: $Z_{i_{j}}$

p_{{Z.}_{{ich}_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - - 1)! (n - - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]]}^{j - - 1} {[1 - - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]]}^{n - - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Wobei ein normales Standard-PDF ist und ein normales Standard-CDF ist und . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Wenn Ihnen nun gegeben wird, dass , dann ist eine 1: 1-Funktion von , nämlich . Ich würde also denken, dass dies eine einfache Anwendung der Jacobi-Regel sein sollte. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{{X.}_{{ich}_{j}} | {Y.}_{{ich}_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - - 1)! (n - - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]]}^{j - - 1} {[1 - - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]]}^{n - - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Das scheint zu einfach, aber ich denke, es ist richtig. Glücklich, falsch gezeigt zu werden.

— Wahrscheinlichkeitslogik
quelle

Sie haben die Frage falsch verstanden. Ich suche die Verteilung von

als Funktion von

. Ich beobachte das

und

nicht wirklich und kann sie nicht bedingen. Man kann wlog annehmen, dass

, und somit nur die Parameter

berücksichtigen .

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— Shabbychef

ok - also musst du

grundsätzlich aus dieser Gleichung entfernen lassen? (integriert aus)

y

$y$

— Wahrscheinlichkeitslogik

Ja; und es ist nicht unabhängig von Z ...

— Shabbychef