Moment erzeugende Funktionen und Fourier-Transformationen?

Ist eine Momenterzeugungsfunktion eine Fourier-Transformation einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

Mit anderen Worten, ist eine Momenterzeugungsfunktion nur die spektrale Auflösung einer Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung einer Zufallsvariablen, dh eine äquivalente Methode zur Charakterisierung einer Funktion hinsichtlich ihrer Amplitude, Phase und Frequenz anstelle eines Parameters?

Wenn ja, können wir diesem Tier eine physikalische Interpretation geben?

Ich frage, weil in der statistischen Physik eine kumulierende Erzeugungsfunktion , der Logarithmus einer Momenterzeugungsfunktion, eine additive Größe ist, die ein physikalisches System charakterisiert. Wenn Sie Energie als Zufallsvariable betrachten, hat ihre kumulierende Erzeugungsfunktion eine sehr intuitive Interpretation als Energieverteilung im gesamten System. Gibt es eine ähnliche intuitive Interpretation für die momentgenerierende Funktion?

Ich verstehe den mathematischen Nutzen davon, aber es ist nicht nur ein Trickkonzept, es steckt doch konzeptionell eine Bedeutung dahinter?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
quelle

Ich glaube, es ist die charakteristische Funktion, die der Fourier-Transformation ähnlicher ist. Die Momenterzeugungsfunktion ist eine Laplace-Transformation.

— Placidia

Interessant: "Die Laplace-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt, aber während die Fourier-Transformation eine Funktion oder ein Signal in ihre Schwingungsmodi auflöst, löst die Laplace-Transformation eine Funktion in ihre Momente auf" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Dann ist die Frage wohl: Wie zerlegt eine Laplace-Transformation intuitiv eine Funktion in ihre Momente und gibt es eine geometrische Interpretation davon?

— Bolbteppa

Dies geschieht aufgrund der Taylorreihenerweiterung der Exponentialfunktion.

— Placidia

Jetzt macht fast alles Sinn! Was genau ist jedoch intuitiv ein Moment? Ich weiß das: "Im Großen und Ganzen kann ein Moment betrachtet werden, wie eine Stichprobe vom Mittelwert eines Signals abweicht - der erste Moment ist tatsächlich der Mittelwert, der zweite ist die Varianz usw." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Was bedeutet das jedoch intuitiv? Was ist die Stichprobe bei der Berechnung des 1., 2., 3., 4. Moments von x ^ 2 (unter Verwendung einer Laplace-Transformation von x ^ 2)? Gibt es eine geometrische Interpretation?

— Bolbteppa

Der MGF ist

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

für reelle Werte von denen die Erwartung besteht. In Bezug auf eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Dies ist keine Fourier-Transformation (die eher als . $e^{itx}$ $e^{tx}$

Die Momenterzeugungsfunktion ist fast eine zweiseitige Laplace-Transformation, aber die zweiseitige Laplace-Transformation hat eher als . $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
quelle

+1 : Die charakteristische Funktion ist diejenige, die enger mit der Fourier-Transformation verwandt ist (auch in diesem Fall gibt es das kleine Problem eines Minuszeichens) - das cf ist , während - bis zu multiplikativen Konstanten - die übliche Fourier-Transformation wäre . Diese Verbindungen erweisen sich manchmal als sehr nützlich, z. B. das Auffinden von Listen nützlicher Eigenschaften von Fourier- oder Laplace-Transformationen, die normalerweise direkt übertragen werden, oder das Nachschlagen umfangreicher Tabellen von Fourier- oder Laplace-Transformationen beim Auffinden von MGFs oder cfs.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b -Reinstate Monica

Und natürlich ist die nützlichste Eigenschaft, dass der MGF der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt ihrer Momenterzeugungsfunktionen ist. Dies entspricht der Regel, dass die Fourier-Transformation der Faltung zweier Funktionen das Produkt ihrer Fourier-Transformationen ist.

— Brian Borchers