Wie heißt der statistische Irrtum, bei dem die Ergebnisse früherer Münzwürfe die Überzeugungen über nachfolgende Münzwürfe beeinflussen?

Wie wir alle wissen, wenn Sie eine Münze werfen, die die gleiche Chance hat, Köpfe wie Schwänze zu landen, dann werfen Sie die Münze oft, die Hälfte der Zeit bekommen Sie Köpfe und die Hälfte der Zeit bekommen Sie Schwänze.

Als sie dies mit einem Freund besprachen, sagten sie, dass, wenn Sie die Münze 1000 Mal werfen und sagen wir, die ersten 100 Mal, wenn sie Köpfe landete, die Chancen, einen Schwanz zu landen, erhöht wurden (die Logik ist, dass, wenn es unvoreingenommen ist, Wenn Sie es dann 1000-mal umgedreht haben, haben Sie ungefähr 500 Köpfe und 500 Schwänze, so dass Schwänze wahrscheinlicher sein müssen.

Ich weiß, dass dies ein Irrtum ist, da vergangene Ergebnisse keinen Einfluss auf zukünftige Ergebnisse haben. Gibt es einen Namen für diesen besonderen Irrtum? Gibt es auch eine bessere Erklärung, warum dies trügerisch ist?

Es heißt der Irrtum des Spielers .

Der erste Satz dieser Frage enthält einen weiteren (verwandten) Irrtum:

"Wie wir alle wissen, wenn Sie eine Münze werfen, die die gleiche Chance hat, Köpfe wie Schwänze zu landen, dann werfen Sie die Münze oft, die Hälfte der Zeit bekommen Sie Köpfe und die Hälfte der Zeit bekommen Sie Schwänze ."

Nein, das werden wir nicht bekommen, wir werden nicht die Hälfte der Zeit Köpfe und die Hälfte der Zeit Schwänze bekommen. Wenn wir das bekommen würden, dann würde sich der Spieler doch nicht so irren . Der mathematische Ausdruck für diese verbale Aussage lautet wie folgt: Für einige "große" (aber endliche) gilt n h = n $n'$ bezeichnetnhoffensichtlichdie Häufigkeit, mit der die Münze die Köpfe berührt. Dan'endlich ist, istn'+1ebenfalls endlich und ein vonn'verschiedener Wert. Was passiert also,nachdemderFlipn'+1gemacht wurde? Entweder landete es Köpfe oder nicht. In beiden Fällennhgleich „Hälfte der Anzahl von Würfen“ gerade angehalten.$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$

Aber vielleicht meinten wir wirklich ein "unvorstellbar großes" ? Dann stellen wir fest$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

Aber hier enthält die RHS ("rechte Seite") das von der LHS ("linke Seite") ins Unendliche übergegangen ist. Die RHS ist also auch unendlich, und diese Aussage besagt, dass die Anzahl der Köpfe der Münze gleich unendlich ist, wenn wir die Münze unendlich oft werfen (die Division durch 2 ist vernachlässigbar):$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

Dies ist eine im Wesentlichen korrekte, aber nutzlose Aussage und offensichtlich nicht das, was wir im Sinn haben.

Insgesamt gilt die Aussage in der Frage nicht, unabhängig davon, ob "Total Tosses" als endlich angesehen werden oder nicht.

Vielleicht sollten wir dann angeben

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

Erstens, dies führt zu „das Verhältnis der Anzahl von gelandeten Köpfen über Gesamtzahl der Würfe tendiert auf den Wert , wenn die Anzahl von Würfen gegen Unendlich“, die eine andere Aussage ist - keine „ die Hälfte der gesamten Würfe“ Hier. Dies ist auch, wie die Wahrscheinlichkeit manchmal immer noch als deterministische Grenze der relativen Frequenzen wahrgenommen wird. Das Problem bei dieser Aussage ist, dass sie in der LHS eine unbestimmte Form enthält: Sowohl Zähler als auch Nenner gehen ins Unendliche. $1/2$

Hmmm, bringen wir das Arsenal der Zufallsvariablen ein . Definieren Sie eine Zufallsvariable so, dass sie den Wert 1 annimmt, wenn der i- te Wurf Heads ergibt , und 0, wenn er Tails ergibt . Dann haben wir n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

Können wir jetzt zumindest angeben

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

Nein . Dies ist eine deterministische Grenze. Es erlaubt alle möglichen Realisierungen der Reihenfolge des ‚s, und so ist es nicht einmal garantiert jedoch , dass eine Grenze existieren, geschweige denn sein es gleich 1 / 2 . Tatsächlich kann eine solche Aussage nur als Einschränkung der Reihenfolge angesehen werden und würde die Unabhängigkeit der Würfe zerstören.$X$$1/2$

Was wir können sagen, ist , dass diese durchschnittliche Summe konvergiert in Wahrscheinlichkeit ( „schwach“) auf (Bernoulli -Weak Gesetz der großen Zahlen),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

und im vorliegenden Fall, dass es auch fast sicher ("stark") konvergiert (Borel-Starkes Gesetz der großen Zahlen)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

Aber diese sind probabilistische Aussagen über die Wahrscheinlichkeit mit der Differenz zwischen zugeordneten und 1 / 2 , und nicht über die Grenze der Differenz n h - n t (die nach der falschen Aussage Null sein sollten - und es ist nicht ). $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

Zugegeben, es bedarf einer gewissen intellektuellen Anstrengung, um diese beiden Aussagen wirklich zu verstehen und wie sie sich (in "Theorie" und "Praxis") von einigen der vorhergehenden unterscheiden. Ich behaupte noch nicht, dass ich selbst ein so tiefes Verständnis habe.

Dieser Irrtum hat viele Namen.

1) Es ist wahrscheinlich am besten als der Irrtum des Spielers bekannt

2) Es wird manchmal auch als ' Gesetz der kleinen Zahlen ' bezeichnet (siehe auch hier ) (weil es sich auf die Idee bezieht, dass die Populationsmerkmale in kleinen Stichproben widergespiegelt werden müssen) - was meiner Meinung nach ein ordentlicher Name für den Kontrast zum Gesetz ist von großen Zahlen, aber leider wird derselbe Name auf die Poisson-Verteilung angewendet (und manchmal auch von Mathematikern verwendet, um wieder etwas anderes zu bedeuten), so dass dies verwirrend sein kann.

3) Bei Menschen, die an den Irrtum glauben, wird er manchmal als „ Gesetz der Durchschnitte “ bezeichnet, das insbesondere nach einem Lauf aufgerufen wird, ohne dass ein Ergebnis vorliegt, um zu argumentieren, dass das Ergebnis „fällig“ ist, aber natürlich nicht so kurzfristig Es gibt ein Gesetz - nichts dient dazu, ein anfängliches Ungleichgewicht auszugleichen - die einzige Möglichkeit, eine anfängliche Diskrepanz zu beseitigen, ist das Volumen späterer Werte, die selbst einen Durchschnitt von 1/2 haben .

$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

$n\to\infty$$\frac{H_n}{n}$$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

Denken Sie an "stochastisch"? Der Wurf einer fairen Münze (oder der Wurf eines fairen Würfels) ist stochastisch (dh unabhängig) in dem Sinne, dass er nicht von einem vorherigen Wurf einer solchen Münze abhängt. Unter der Annahme eines fairen Betrugs ändert die Tatsache, dass die Münze hundertmal geworfen wurde und hundert Köpfe resultierten, nichts an der Tatsache, dass der nächste Wurf eine 50/50-Chance hat, Köpfe zu sein.

Im Gegensatz dazu ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Karte zu ziehen, die eine Karte aus einem Kartenstapel ohne Ersatz zieht, nicht stochastisch, da die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Karte zu ziehen, die Wahrscheinlichkeit ändert, die Karte beim nächsten Ziehen zu ziehen (wenn es sich um einen Ersatz handelte, es wäre stochastisch).

$X_n$$n$$X_n$$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$

$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

$Y_{900}$$N(450, 15)$

Somit besteht nach der Beobachtung von 100 Köpfen in den ersten 100 Versuchen keine hohe Wahrscheinlichkeit mehr, in den ersten 1000 Versuchen nahezu 500 Erfolge zu beobachten, vorausgesetzt natürlich, dass die Münze fair ist. Beachten Sie, dass dies ein konkretes Beispiel ist, das zeigt, dass es unwahrscheinlich ist, dass ein anfängliches Ungleichgewicht kurzfristig ausgeglichen wird.

$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

Die Auswirkung des Ungleichgewichts auf die ersten 100 Würfe ist jedoch auf lange Sicht seitdem vernachlässigbar

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Sie beziehen sich auf Gamblers Irrtum , obwohl dies nicht ganz richtig ist.

Tatsächlich wird dies offensichtlicher, wenn man sagt, dass "eine angenommene faire Münze gegeben ist und man eine gegebene Folge von Ergebnissen beobachtet, was die Schätzung der elementaren Wahrscheinlichkeiten der Münze ist".

Tatsächlich bezieht sich der " Trugschluss " nur auf (angenommene) faire Münzen, bei denen die verschiedenen Produkte von Probs gleich sind. Dies beinhaltet jedoch eine Interpretation, die im Gegensatz zu (Untersuchung von) ähnlichen Fällen mit einer Münze steht, die eine andere (nicht symmetrische / voreingenommene) Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist.

Für eine weitere Diskussion (und eine kleine Wendung) siehe diese Frage .

Dies ist genau wie der in vielen statistischen Studien verwendete Irrtum , bei dem Korrelation Kausalität impliziert . Aber es kann ein Hinweis auf einen Kausalzusammenhang oder eine häufige Ursache sein.

Zu beachten ist nur, dass es besser ist, wenn Sie eine große Anzahl von Köpfen oder Schwänzen in einer Reihe haben, Ihre vorherige Annahme, dass die Münze fair war, noch einmal zu überdenken.