Ist die Stichprobenverteilung für kleine Stichproben einer Normalbevölkerung normal oder t verteilt? [geschlossen]

Wenn ich weiß, dass die Population normal verteilt ist, und dann kleine Stichproben aus dieser Population entnehme , ist es dann korrekter zu behaupten, dass die Stichprobenverteilung normal ist oder stattdessen der t-Verteilung folgt ?

Ich verstehe, dass kleine Stichproben dazu neigen, t verteilt zu sein, aber gilt dies nur, wenn die zugrunde liegende Bevölkerungsverteilung unbekannt ist?

Vielen Dank!

1) Eine Reihe von zufälligen Beobachtungen aus einer Population mit der Verteilung sind Stichproben aus dieser Verteilung. So auch Einzelwerte aus einer normalen Population Stichprobe normalverteilt sind . (Nun, etwas genauer gesagt, die Zufallsvariable, die die einzelne Ziehung darstellt, ist die normalverteilte.)$F$

2) Wenn die Beobachtungen unabhängig von einer Normalverteilung sind, sind die Stichprobenmittel normal. (Wenn sie abhängig sind, ist es wichtig, wie die Abhängigkeitsstruktur ist.)

3) Hier ist etwas, das t-verteilt wird, wenn die Daten aus einer normalen Population stammen: t-Statistik. (Wir bekommen etwas anderes als normal, weil es einen Zähler und einen Nenner gibt)

Ich verstehe, dass kleine Proben dazu neigen, nicht verteilt zu werden

Dies ist ein falsches Verständnis. Worauf basiert dieses Verständnis?

[Dies scheint ein so häufiges Missverständnis zu sein, dass ich nur annehmen kann, dass es irgendwo in einem populären oder einst populären Buch steht. Wenn Sie ein solches Buch finden, veröffentlichen Sie Details in Ihrer Frage oder in einem Kommentar, da ich gerne wissen würde, woher es kommt.]

Wenn Sie beabsichtigen, einen Wert aus einer normalverteilten Population zu entnehmen, hat dieser Wert dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie der der Population. Jede Zeichnung aus einer Population X ∼ N ( μ , σ 2 ) wird also aus derselben Populationsverteilung N ( μ , σ 2$x_{i}$$X \sim N(\mu, \sigma ^{2})$$N(\mu, \sigma ^{2})$

Das bedeutet also, dass kleine Proben immer noch normal verteilt sind, oder? Nun, sicher, wenn jede Ziehung aus einer Normalverteilung stammt, hat sie selbst eine Normalverteilung (zumindest bevor wir die Ziehung tatsächlich durchführen).

Es scheint, als würden Sie nach fragen , da es sich um Samples, T-Verteilungen und dergleichen handelt. ˉ $\bar{x}$$\bar{x}$ ist nicht ist für kleine Proben immer noch normal, obwohlweil jede Beobachtung eine Normalverteilung hat. Warum? Weil es nur eine Summe anderer normaler Zufallsvariablen ist!$x_i$

Glen_b hat einen schönen Fang gemacht, bei dem ich und die t- Statistik zusammengeführt habe. Es ist wichtig zu beachten, dass ˉ x für jede Stichprobengröße immer noch normal ist (wenn die Grundgesamtheit normal ist), t- Statistiken, die aus einer normalen Stichprobe erstellt wurden, für kleine Stichprobengrößen nicht normal sind. Warum?$\bar{x}$$t$$\bar{x}$$t$

Nun, wir haben hier zwei verschiedene Fälle. Es ist möglich, dass die Verteilung bereits bekannt ist. In diesem Fall kennen wir den wahren Wert von . Es ist auch möglich, dass σ 2 nicht bekannt ist. In diesem Fall müssen wir es schätzen.$\sigma^{2}$$\sigma^{2}$

1: Wir kennen . Dies bedeutet, dass wir eine z- Statistik verwenden können, die direkt aus dem Populationsparameter σ 2 berechnet wird .$\sigma^{2}$$z$$\sigma^2$

Wenn wir uns über den wahren Wert von sicher sind , können wir z. B. Hypothesentests an ˉ x unter Verwendung einer Verteilung N ( μ , σ $\sigma^{2}$$\bar{x}$. Insbesondere können wir es standardisieren und in einen WertZumwandeln, für den die VerteilungN(0,1) ist. Wenn wir den Wert vonσ2 kennen, können wir einfach die Standardnormalverteilung für unsere Berechnungen verwenden. Es ist normal, egal wie groß oder klein unsere Stichprobe sein mag!$N(\mu, \frac{\sigma ^{2}}{\sqrt{n}})$$Z$$N(0, 1)$$\sigma^{2}$

2: Wir kennen und schätzen es daher mit s 2 .$\sigma^{2}$$s^2$

$\sigma^{2}$$s^2$$\bar{x}$$\bar{x}$$x_i$

Weitere Informationen finden Sie in der Definition der t-Verteilung und der Verteilung der Stichprobenvarianz .