Wie viele Sticker brauche ich, um mein FIFA Panini-Album fertigzustellen?

Ich spiele das FIFA Panini Online-Sticker-Album , eine Internet-Adaption der klassischen Panini-Alben, die normalerweise für die Fußball-Weltmeisterschaft, die Europameisterschaft und möglicherweise für andere Turniere veröffentlicht werden.

Das Album enthält Platzhalter für 424 verschiedene Aufkleber. Der Zweck des Spiels ist es, alle 424 zu sammeln. Die Aufkleber werden in 5er-Packs geliefert, die Sie über Online-Codes erhalten (oder im Falle eines klassischen gedruckten Albums an Ihrem örtlichen Zeitungskiosk kaufen können).

Ich gehe von folgenden Annahmen aus:

Alle Aufkleber werden in der gleichen Menge veröffentlicht.
Eine Packung Aufkleber enthält keine Duplikate.

Wie kann ich herausfinden, wie viele Packungen Aufkleber ich erwerben muss, um einigermaßen sicher zu sein (sagen wir mal 90%), dass ich alle 424 einzigartigen Aufkleber habe?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
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Eine Reihe von Erkenntnissen können aus dem Lesen anderer Fragen zum Problem des Couponsammlers gewonnen werden.

— Glen_b -Reinstate Monica

Sie benötigen 700 Packungen; Die Chance, alle 424 Sticker zu erwerben, beträgt dann 90.0024%. 761 werden benötigt, um die Chance auf 95% und 898 auf 99% zu bringen. (Durchschnittlich werden fast 560 Packungen benötigt, um das Set zu vervollständigen. Es ist unwahrscheinlich (weniger als eine Chance von tausend), dass weniger als 352 benötigt werden.)

— whuber

Ich bin nicht sicher, ob die erste Annahme gemacht werden kann. "Shinies" sind eher selten.

— James

Hmm, nach dem, was ich aus dem von Asuranceturix veröffentlichten Dokument lesen konnte, haben sie bewiesen, dass es keinen signifikanten Unterschied gab.

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal Ich stehe korrigiert.

— James

Antworten:

Das ist ein schönes Coupon Collector's Problem, mit einer kleinen Wendung, die durch die Tatsache entsteht, dass Aufkleber in 5er-Packs geliefert werden.

Wenn die Aufkleber einzeln gekauft wurden, ist das Ergebnis bekannt, wie Sie hier sehen können .

Alle Schätzungen für eine 90% -Obergrenze für individuell gekaufte Aufkleber sind ebenfalls Obergrenzen für das Problem mit einem 5er-Pack, aber einer weniger engen Obergrenze.

Ich denke, dass eine bessere 90% -Obergrenze mit dem 5er-Pack schwieriger wird und nicht zu einem weitaus besseren Ergebnis führt.

$P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

Der Artikel "Das Sammlerproblem mit Gruppenzeichnungen" (Wolfgang Stadje), eine Referenz des Artikels von Assuranceturix, bietet eine exakte analytische Lösung für das Coupon Collector's Problem mit "Sticker Packs".

$S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Der Satz besagt:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

$l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Es war also nicht so weit von der Obergrenze entfernt :)

— Jundiaius
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Und diese gute Antwort würde?

— Ziggystar

Ungefähr 3642 zufällige Aufkleber. Die Obergrenze für das "5er-Pack-Problem" wäre also etwas weniger als 729er-Packs.

— Jundiaius

Neulich bin ich auf einen Artikel gestoßen, der sich mit einer eng verwandten Frage befasst:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Wenn ich es richtig verstanden habe, wäre die erwartete Anzahl der Packungen, die Sie kaufen müssten:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Wie in den Kommentaren erläutert, wird die spezifische Frage, die das OP stellt, in einem anderen Papier, das keinen offenen Zugang bietet, ausführlich behandelt.

Ihre endgültige Schlussfolgerung schlägt die folgende Strategie vor (für ein Album mit 660 Aufklebern):

Kaufen Sie eine Schachtel mit 100 Packungen mit 5 Aufklebern (500 Aufkleber, die garantiert alle unterschiedlich sind).
Kaufen Sie weitere 40 Packungen mit 5 Aufklebern und tauschen Sie die Duplikate aus, bis Sie höchstens 50 fehlende Aufkleber haben.
Kaufen Sie die restlichen Aufkleber direkt bei Panini (diese kosten ca. das 1,5-fache).

Dies sind insgesamt 140 Packungen + bis zu 15 zusätzliche Packungen mit (kostenpflichtigen) Aufklebern, was maximal 155 Packungen entspricht .

— Asuranceturix
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Groß! Es scheint, dass das Hauptargument ihrer Ergebnisse in dem Artikel "Das Problem des Sammlers mit Gruppenzeichnungen" liegt, der leider nicht offen zugänglich ist.

— Jundiaius

Haha, das ist großartig! Sie gehen auch detailliert darauf ein, wie sich das Tauschen auf das Ergebnis auswirkt (was ich außer Frage gelassen habe). Sehr interessant, danke!

— Vidar S. Ramdal

Können Sie die Lösung des OP-Problems zusammenfassen, die das Papier bietet? Links verfallen manchmal und diese Antwort wird dann weniger nützlich.

— Andy

@ Andy: Ich habe die Antwort bearbeitet, um Ihr Anliegen anzusprechen, aber es ist nicht genau die Antwort auf die ursprüngliche Frage. Leider ist die Originalarbeit, die diese Antwort liefert, zu schwer für mich zu lesen, sorry.

— Asuranceturix

Ich bin zweifelhaft in Bezug auf eine Schachtel mit 100 Packungen, die nur unterschiedliche Aufkleber enthalten. Dies scheint eine enorme und unnötige Herstellungskomplikation mit geringem Nutzen zu verursachen.

— JWG