Lineares Regressionsmodell, das am besten für fehlerhafte Daten geeignet ist

Ich suche nach einem linearen Regressionsalgorithmus, der am besten für Daten geeignet ist, deren unabhängige Variable (x) einen konstanten Messfehler aufweist und deren abhängige Variable (y) einen signalabhängigen Fehler aufweist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das obige Bild zeigt meine Frage.

— user46178
quelle

Wenn die konstante Variable x einen konstanten Messfehler aufweist und die Fehler nur dazu verwendet werden, die Variablen relativ zu gewichten, ist diese Situation nicht gleichbedeutend damit, dass keine Fehler in x vorliegen?

— pedrofigueira

@pedro Das ist nicht der Fall, weil die Fehler in

nicht nur Gewichte in einer Formel sind. Bei der Regression von Fehlern in Variablen unterscheiden sich die Anpassungen und die Kovarianzschätzungen der Parameter von der normalen Regression.

x

$x$

— whuber

Danke für die Abklärung. Könnten Sie etwas näher darauf eingehen, warum dies der Fall ist?

— Pedrofigueira

Messfehler in der abhängigen Variablen

Bei einem allgemeinen linearen Modell mit homosckedastisch, nicht autokorreliert und unkorreliert mit den unabhängigen Variablen, sei die "wahre" Variable und ihre beobachtbare messen. Der Messfehler ist definiert als ihre Differenz Das schätzbare Modell lautet also:

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

beobachtet werden, können wir das Modell durch OLS abschätzen. Wenn der Messfehler in

statistisch unabhängig von jeder erklärenden Variablen ist, hat

die gleichen Eigenschaften wie

und die üblichen OLS-Inferenzverfahren (

Statistiken usw.) sind gültig. In Ihrem Fall würde ich jedoch eine zunehmende Varianz von

erwarten. Du könntest benutzen:

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

ein gewichteter Schätzer der kleinsten Quadrate (z . B. Kutner et al. , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);
der OLS-Schätzer, der immer noch unvoreingenommen und konsistent ist, und heteroskedastizitätskonsistente Standardfehler oder einfach Wite-Standardfehler ( Verbeek , §4.3.4).

Messfehler in der unabhängigen Variablen

$x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

Soweit ich anhand Ihres Diagramms erraten kann (Fehler, die sich auf die "wahren" Werte der unabhängigen Variablen konzentrieren), könnte das erste Szenario zutreffen.

— Sergio
quelle