Wie ist die Phasen- und Amplitudenantwort von weißem Rauschen?

Ich möchte weißes Rauschen im Frequenzbereich erzeugen und es dann mit Python in den Zeitbereich umwandeln. Um das Problem zu verstehen, habe ich einfach weißes Rauschen im Zeitbereich erzeugt und es in den Freq-Bereich umgewandelt:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Ich sehe überhaupt nicht so aus, wie ich es erwartet hatte: Fragen:

• Soll weißes Rauschen nicht eine flache Amplitudenantwort haben? (gleiche Beträge für alle Frequenzen)
• Wie ist die Beziehung zwischen der Standardabweichung (1 in meinem Beispiel) und der Größe und Phase?

Danke im Voraus!

Soll weißes Rauschen nicht eine flache Amplitudenantwort haben? (gleiche Beträge für alle Frequenzen)

Die erwartete Amplitudenantwort von weißem Rauschen ist flach (JasonR nennt dies die spektrale Leistungsdichte). Eine bestimmte Instanz einer Sequenz mit weißem Rauschen hat keine präzise flache Reaktion (dies ist der Kommentar von JasonR, der als Leistungsspektrum bezeichnet wird).

Tatsächlich ist die Fourier-Transformation von weißem Rauschen ... weißes Rauschen!

Wie ist die Beziehung zwischen der Standardabweichung (1 in meinem Beispiel) und der Größe und Phase?

Es gibt keine Beziehung zwischen der Standardabweichung und der Phase. Angenommen, ist stationäres weißes Rauschen mit dem Mittelwert Null und der Standardabweichung . Dann ist die Autokorrelation (Kovarianz):$n(t)$$\sigma$

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Die spektrale Leistungsdichte beträgt also nur (obwohl es für die diskrete Zeit eine Skalierung auf der Grundlage der Signaldauer gibt).$\sigma^2$

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Fragen von Kommentar:

1. Wenn Sie sagen, dass die Fourier-Transformation auch weißes Rauschen ist, wie kann ich dann den Standardwert messen, wenn die Transformation komplex ist? Real-, Imaginärteil oder irgendeine Kombination?

Angenommen, unser Rauschen ist zeitdiskret und ist (Mittelwert Null, Gaußsches, weißes Rauschen mit Varianz ). Dann ist die Transformation:$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

und der erwartete Wert ist:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

Die Varianz des Realteils ergibt sich aus:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Ich glaube, der Imaginärteil wird sich genauso verhalten.

2. Könnten Sie mir bitte erklären, wie die Dauer des Signals mit der spektralen Leistungsdichte zusammenhängt (für zeitdiskrete Situationen)?

Ich glaube, dass (basierend auf der obigen Ableitung) die spektrale Leistungsdichte (der erwartete Wert des Quadrats der DFT) linear als die Dauer skaliert.

3. Wenn die Phase nicht vom std-dev beeinflusst wird, was bestimmt die 3-Grad-Amplitude und die Art der Verteilung (scheint eher einheitlich als normal zu sein)

Schauen Sie sich die Tabelle auf Seite 2 dieser PDF-Datei an . Sie besagt, dass das Argument (die Phase) der Koeffizienten gleichmäßig verteilt wird, wie Sie angeben. Screenshot der folgenden Tabelle.