Problem mit der Definition der Linearität

Aus der Mathematik der High School wissen wir, dass y = mx + c eine lineare Gleichung ist. In DSP muss das lineare System jedoch die Additivitätseigenschaften erfüllen, die y = mx + c aufgrund von + c nicht gilt. Unterscheidet sich die Definition von Linearität in DSP und Mathematik? Wenn ja warum? Vielen Dank.

linear-systems

— Zahid Hasan
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Ja, in gewissem Sinne sind die Definitionen unterschiedlich. Ich gebe Ihnen zwei Gesichtspunkte, der erste wird Ihre genaue Beobachtung unterstützen, der andere wird Beweise für das Gegenteil liefern. Diese beiden widersprechen sich nicht, es ist eine Frage der Semantik. Wenn der zweite Sie verwirrt, bleiben Sie beim ersten. Vorspiel abgeschlossen, hier geht.

Problemdefinition 1 : bedeutet $y = mx + c$ $f(x)=mx+c$

Hier nehmen wir den üblichen Standpunkt ein, unter dem angenommen wird, dass das Ergebnis einiger Manipulationen an . Wir nennen das etwas eine Funktion, und wir können denselben Ausdruck mit etwas mehr mathematischer Eleganz aufschreiben: . Es ist nun klar, dass in gewisser Weise bei der Ausgabe einer mathematischen Manipulation ist, für die die Eingabe ist . $y$ $x$ $f(x)=mx+c$ $f(x)$ $x$

Aktualisieren wir die Kriterien für die Linearität. Eine Funktion ist linear, wenn sie beide der folgenden Bedingungen erfüllt: $g(x)$

$g(a+b) = g(a)+g(b)$ für alle und $a$ $b$
$g(cx) = cg(x)$ für alle Konstanten $c$

Es ist klar, dass unsere Lieblingsfunktion keine dieser Eigenschaften erfüllt. Also ja, aus dieser Perspektive ist keine lineare Funktion. Das, was wir "linear" am nächsten kommen können, ist " affin ". $f(x)$ $f(x)$

QED

Sie können sich jetzt auf Teil 2 der Antwort einstellen.

Problemdefinition 2 : bedeutet $y = mx + c$ $L(x,y)=y-mx$

Lassen Sie es uns Schritt für Schritt machen. Angenommen, Sie versuchen, ein System aus zwei linearen Gleichungen zu lösen. Wie machst du das? Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichungen wie folgt aufzuschreiben:

\begin{aligned} y & = m_{1} x + c_{1} \\ y & = m_{2} x + c_{2} \end{aligned}

$\begin{align} y &= m_1x + c_1\\y &= m_2x + c_2 \end{align}$

Sicherlich machen wir das alle seit der siebten Klasse so. Jetzt müssen Sie es nur noch durch Substitution oder auf die von Ihnen bevorzugte Weise lösen. Aber was machen Sie, wenn Sie ein Gleichungssystem mit mehr als zwei Variablen haben? Wirst du es so aufschreiben?

\begin{aligned} y & = {ein}_{1} x + c_{1} z + d_{1} \\ y & = {ein}_{2} x + c_{2} z + d_{2} \\ y & = {ein}_{3} x + c_{3} z + d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} y &= a_1x + c_1z + d_1\\y &= a_2x + c_2z + d_2\\y &= a_3x + c_3z + d_3 \end{align}$

Das sieht nicht richtig aus. Und das aus einem sehr guten Grund. Es gibt viele Möglichkeiten, Funktionen einer beliebigen Anzahl von Variablen zu interpretieren, und nicht nur die Semantik unterscheidet sich. Um für einen Moment abzuschweifen, nehmen Sie die Gleichung . Fast jeder (der dieses Forum besucht) wird es sofort als Kreisgleichung identifizieren. Aber erinnern Sie sich an die Definition einer Funktion ! $x^2+y^2=r^2$

Wenn wir es als interpretieren, erhalten wir zwei Lösungen: eine obere Hälfte eines Kreises und eine untere Hälfte eines Kreises. Der gesamte Kreis kann keine Lösung sein, da er die Eigenschaft verletzt, dass in Funktionen für jede Eingabe höchstens eine eindeutige Ausgabe vorhanden ist. $f(x) = \pm \sqrt{r^2-x^2}$

Wenn wir es andererseits als interpretieren , erhalten wir den gesamten Kreis als Lösung zurück, weil wir ihn als Funktion von zwei Variablen betrachten, die einer Konstanten entsprechen. Mit anderen Worten, obwohl wir den gleichen Ausdruck , müssen wir definieren, wovon wir sprechen. Andernfalls ist dieses Problem nicht genau definiert. In einer Interpretation ist es eine Funktion , in einer anderen Interpretation ist es eine Funktion . Erinnern Sie sich an all das Murmeln über Domänen und Bereiche in der High School? Ja, genau das ist es. Nun zurück zu unserem geheimnisvollen Thema der linearen Funktionen. $f(x,y)=r^2$ $x^2+y^2=r^2$ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$

Hoffentlich hast du zu diesem Zeitpunkt schon dein Aha! Moment. Wenn nicht, ist hier unser Ziel gerade. Erinnern Sie sich an dieses System von drei Gleichungen, das nicht ganz richtig aussah? Beachten Sie zunächst, dass es affin aussieht, da es neben den Variablen und auch Konstanten gibt . Eine schönere Art, dieses Gleichungssystem aufzuschreiben, ist wie folgt: $x$ $z$ $d$

\begin{aligned} - - {ein}_{1} x + y + - - c_{1} z & = d_{1} \\ - - {ein}_{2} x + y + - - c_{2} z & = d_{2} \\ - - {ein}_{3} x + y + - - c_{3} z & = d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} -a_1x + y + -c_1z &= d_1 \\ -a_2x + y + -c_2z &= d_2 \\ -a_3x + y + -c_3z &= d_3\end{align}$

Jetzt kommen wir irgendwohin. Wie Sie sehen können, können wir es wie folgt in Matrixform ausschreiben:

[\begin{matrix} - - {ein}_{1} & 1 & - - c_{1} \\ - - {ein}_{2} & 1 & - - c_{2} \\ - - {ein}_{3} & 1 & - - c_{3} \end{matrix}]] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]] = [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]]

$\begin{bmatrix} -a_1 &1 &-c_1 \\-a_2 &1 &-c_2 \\-a_3 &1 &-c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$

Dies ist eindeutig ein lineares Gleichungssystem. Wo ist der Haken? Nun, zuerst sah es aus wie ein System von drei Funktionen der Form , und jetzt stellen wir es als eine einzelne Funktion der Form . $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ $f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$

Um zu klären, ist dies eine einzelne Funktion , die in einem Vektor nimmt und kehrt in einer anderen Vektor . Nennen wir diese Funktion , genau . Ich werde Sie überprüfen lassen, ob diese Funktion linear ist . Konkret, wenn und $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}^3$ $L(x,y,z)$ $L:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \end{bmatrix}$ , dann

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\alpha \\ y+\beta \\ z+\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 + \delta_1 \\ d_2 + \delta_2 \\ d_3 + \delta_3 \end{bmatrix}$ , und
$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kd_1 \\ kd_2 \\ kd_3 \end{bmatrix}$

Mit anderen Worten (und ja, dies ist der wahre Grund, warum Mathematiker ständig neue, präzise Notationen entwickeln!), Lassen Sie ( und und dreidimensionale Vektoren reeller Zahlen). Dann $\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ $\vec{u}$ $\vec{v}$

$L(\vec{u}+\vec{v}) = L(\vec{u})+L(\vec{v})$
$L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

Linear! QED

Abschließend haben wir mysteriöse Feinheiten der Funktionsmathematik untersucht und insbesondere die Bedeutung einer guten Definition von Problemen. Die Funktion ist offensichtlich nicht linear (oder genauer gesagt affin), und die Funktion ist linear. $f(x) = mx + c$ $g(x,y) = y - mx$

Komm zurück für mehr interessante Sachen. Wir geben gerne verdrehte Antworten auf einfache Fragen.

— Phonon
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Ein einfacherer Grund für die Bezeichnung von als lineare Funktion ist, dass sein Graph eine gerade Linie ist, die nicht unbedingt durch den Ursprung verläuft, und zumindest in der elementaren analytischen Geometrie, die die meisten Leser in der High School kennengelernt haben und den Namen zuerst gehört haben. Es ist viel zu kompliziert, unterschiedliche Namen für gerade Linien zu haben, die durch den Ursprung verlaufen, und für solche, die dies nicht tun.

y = m x + c

$y=mx+c$

— Dilip Sarwate

Wikipedia sagt dies als lineare Polynome ... Ich frage mich, warum DSP-Bücher diese Informationen nicht enthalten!

— Zahid Hasan

@Phonon - Hervorragende Präsentation. Dies ist die zweite Antwort auf den Stapelaustausch, die ich zur späteren Bezugnahme in meinen Archiven aufbewahren möchte.

— user2718

@BruceZenone Drüben auf math.SE führen sie auf ihrer Metaseite eine Liste mit Verallgemeinerungen allgemeiner Fragen, die eine Sammlung der besten Antworten enthält, die zum späteren Nachschlagen gespeichert werden. Vielleicht könnte dsp.SE (Hinweis, Hinweis, Moderator Phonon!) Eine ähnliche Sache hinzugefügt werden, die bei der Beantwortung von Fragen wie Was ist eine FAQ-Frage auf der dsp-Metaseite?

— Dilip Sarwate