FFT-Zeitbereichsdurchschnitt vs. Frequenzbereichsdurchschnitt

Ich habe mehrere Versuche mit physiologischen Daten. Ich mache eine frequenzbasierte Analyse, um die Leistung (Amplitude) in bestimmten Frequenzen von Interesse zu analysieren. Werden mehrere Versuche mit gleicher Länge gemittelt und dann für jeden Versuch eine einzelne FFT des gemittelten Signals verglichen mit der Berechnung der FFT und anschließend die gleichen Frequenzbereiche gemittelt? In der Praxis bin ich der Meinung, dass dies nicht der Fall ist.

Insbesondere hat das Signal natürlich eine starke 1 / f-Komponente und dies wird betont, wenn ich die FFT jedes einzelnen Versuchs berechne und dann die Amplituden (Realteil) jedes Frequenzbereichs mittle. Sind die beiden gleichwertig? Gibt es einen richtigen Weg, um Dinge zu tun? oder unter welchen prinzipiellen bedingungen sollte die wahl zwischen zeitbereichsmittelung und frequenzbereichsmittelung getroffen werden?

Lassen Sie mich das klarstellen.

• Die Fourier-Transformation repräsentiert nicht das Histogramm des Signals. Die Fourier-Transformation ist eine lineare Transformation, die das Signal vom Zeitbereich (komplexe Funktion) in den Frequenzbereich (eine andere komplexe Funktion) umwandelt. Es nimmt eine komplexe Funktion zu einer anderen komplexen Funktion.
• Die Fourier-Transformation ist linear, wie das obige Poster zeigt.
• Die Phase in Ihren Proben ist wichtig, wie oben erwähnt. Wenn die Daten von Versuch zu Versuch in der Phase variieren, möchten Sie vor der Durchführung einer Fouriertransformation keinen Durchschnitt bilden, aber Sie möchten auch nach der Fouriertransformation keinen Durchschnitt bilden. Sie möchten nach Fourier-Transformation und Norm mitteln. Ich werde im Folgenden näher darauf eingehen, was genau zu tun ist.

Das Hauptproblem hierbei ist, dass die Frage falsch gestellt ist. Es ist nicht "sollte ich die Fourier-Transformation vor dem Mitteln oder nach dem Mitteln nehmen". Weil es aufgrund der Linearität der Fouriertransformation keinen Unterschied macht.

Die richtige Frage lautet: "Soll ich die Amplitude der Fourier-Transformation vor oder nach der Mittelung bestimmen?". Für diese Frage liegt die Antwort vor.

Hier sind die Details.

Angenommen, Ihre abgetasteten Daten werden durch die folgenden Sequenzen dargestellt:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

wobei Daten aus M Versuchen sind und sind, dann:n 1 , . . . n $d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Während also die Transformation linear ist,ist nicht.| F $\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Während für alles, was ist, real ist , ist nicht, sondernist.i , j F { d j } | F { d j } $d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

Was Sie tun sollten, sollten Sie die Fourier-Transformation einzelner Versuche (über FFT) durchführen, die Amplitude einzelner Versuche ermitteln und diese zusammen mitteln.

Schließlich, was ist . ist eine Kurzbezeichnung für das Frequenzspektrum von "natürlichen" Signalen (normalerweise denken die Menschen an Bilder).1 /$1/f$$1/f$

Wenn Leute sagen, dass es eine große Komponente gibt, bedeutet dies, dass die Amplitude als Funktion der Frequenz wie aussieht . Es ist total wellenförmig ... wahrscheinlich von einem Biologen: p1 /$1/f$$1/f$

Die inverse Fourier-Transformation von ist eine Vorzeichenfunktion, aber das ist nutzlos. Es ist eine imaginäre Zeichenfunktion! Reale Funktionen erzeugen eine symmetrische Fouriertransformation.$1/f$

Die Tatsache, dass das Spektrum , sagt etwas über das Signal aus, lässt Sie das Signal jedoch nicht wiederherstellen. Sie wissen nur, dass. Auf diese Weise können Sie nicht eindeutig bestimmen, da alle Phaseninformationen verschwunden sind und wir wissen, dass die Struktur eines Signals stark von seiner Phase abhängt .$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

Was sagt Ihnen ? Einfach, dass es viel Niederfrequenz und ein wenig Hochfrequenz enthält.$1/f$

Eine ebenso wichtige Frage: Was bringt Ihnen die Mittelwertbildung? und wichtiger ist, wie man das ergebnis interpretiert? Schalten Sie morgen für eine eingehendere Diskussion ein: p

Erstens ist die FFT ein Algorithmus. Die Transformation heißt Fourier-Transformation! Es repräsentiert das Histogramm der Signale. Im diskreten Fall bedeutet ein hoher Messwert in den Frequenzbereichen viel Energie bei dieser Frequenz.

Sie sollten die Daten nicht vor der FFT mitteln, da die Phaseninformationen zu erheblichen Datenänderungen führen.

Stellen Sie sich 2 Proben vor, die jeweils aus reinem Cosinus bestehen. In der realen Welt werden Sie diesen Kosinus niemals am exakt gleichen Ausgangspunkt erfassen. Ein Cosinus wird relativ zum anderen verschoben (oder beide haben unterschiedliche Verschiebungen relativ zum Start. Mathematisch bedeutet dies y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B), wobei A & B Verschiebungen sind. In Ihrem Modell sind dies zwei besser als dasselbe auftauchen. Mit ein wenig Mathe kann ich diese Werte so wählen, dass y2-y1 = 0. Der Durchschnitt von Null ist Null und ganz und gar nicht das, was Sie wollen. Dies ist das Phasenproblem.

Wenn Sie das durchschnittliche Spektrum ermitteln möchten, das Sie über die Spektren mitteln sollten, sollten Sie die Signale nicht mitteln!

Sofern ich nicht völlig verunsichert bin oder Ihre Frage falsch verstehe, lautet die Antwort " Ja" : Durch Linearität der DFT entspricht die zeitliche Mittelung der Signale und die anschließende Ermittlung der DFT des Durchschnitts der Mittelung der DFTs der Signale.

Um dies zu zeigen, definieren wir einige Variablen:

• $x_{n}[\ell]$ : -Zeitbereichsstichprobe zum Zeitpunkt$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$ : -Trialfrequenzbereichsabtastung bei der Frequenz$\ell^{th}$$k$

Das "durchschnittliche" Signal in der Zeitdomäne ist gegeben durch . Nehmen wir seine DFT, haben wir$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$ .

Wenn wir die Reihenfolge der Summierungen ändern, können wir schreiben

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

aber das ist das gleiche wie

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

Das ist das gleiche wie der Durchschnitt der DFTs von jedem Trival. Das wollten wir zeigen.