Wie kann die Impulsantwort eines linearen Systems aus einer Reihe von Eingangs- und Ausgangssignalen abgeleitet werden?

Ich möchte wissen, wie man diese Art von Problemen löst. Ist es eine Inspektion?

Betrachten Sie das folgende lineare System. Wenn die Eingaben in das System , und , sind die Antworten der Systeme , und wie gezeigt. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bestimmen Sie, ob das System zeitinvariant ist oder nicht. Nur deine Antwort.
Was ist die Impulsantwort?

EDIT: Angenommen, ein allgemeiner Fall, in dem die angegebenen Eingaben keinen skalierten Impuls wie $x_2[n]$

— Belbesy
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Hinweis: Verwenden Sie und , um zu bestimmen, wie die Impulsantwort von muss (da nur ein skalierter Impuls ist). Das gibt Ihnen die Antwort auf Teil (b). Überprüfen Sie dann die beiden anderen Fälle, um festzustellen, ob die Ein- / Ausgänge mit dieser Impulsantwort übereinstimmen (unter Verwendung der Überlagerungseigenschaft eines linearen Systems), um eine Antwort für Teil (a) zu erhalten.

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

Das ist im allgemeinen Fall ein schwierigeres Problem. Wenn sie alle so kurz sind, Sie eine Obergrenze für die Dauer der Impulsantwort kennen und über genügend Eingangs- / Ausgangspaare verfügen, können Sie ein lineares Gleichungssystem einrichten, das Sie lösen können, um zu dem unbekannten Impuls zu gelangen Antwortwerte.

— Jason R

Im allgemeinen Fall ist es auch durchaus möglich, dass es keine oder gar keine FIR-Lösung gibt. Hinweis: Überprüfen Sie die DC-Werte von x1 [n] und y1 [n].

— Hilmar

Hinweis: Wie sieht das Signal aus? Für ein LTI- System sollte die Antwort , nein? Ist es? Es ist auch zu beachten, dass es für ein zeitdiskretes lineares zeitvariantes System nicht eine Einheitsimpulsantwort gibt, sondern eine Unendlichkeit von Einheitsimpulsantworten, eine für jeden Zeitpunkt, zu dem der Einheitsimpuls auftritt.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate: Ich stimme zu, dass dies ein schreckliches Hausaufgabenproblem ist. Das System sieht jedoch kausal aus. Während für ungleich Null ist , ist es auch , so dass die Systemausgabe die Eingabe nicht rechtzeitig .

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

Antworten:

$L$ $L$

L x = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

$L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Um die erste Frage zu beantworten, müssen Sie nur zwei Spalten erstellen, um festzustellen, dass sie unterschiedlich sind, um die Zeitinvarianz zu widerlegen. Ein direkter Weg, dies zu tun, besteht darin, anzunehmen, dass es zeitinvariant ist und einen Widerspruch abzuleiten. Um jedoch zu zeigen , daß es ist zeitinvarianten erfordert mehr Information, dh es vollständig um die Matrix erfordert angibt. Wenn es nicht zeitinvariant ist, gibt es für jede Probe eine möglicherweise unterschiedliche Impulsantwort, nicht eine einzige, wie andere erwähnt haben.

$L$

— Derek Elkins verließ SE
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Es scheint ein Bild zu geben, das jetzt verschwunden ist, und daher könnte mir etwas fehlen.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Wenn die Eingangssignale bandbegrenzt sind und ihre Bandbreite geringer als die Ihres Systems ist, können Sie die Impulsantwort nicht wiederherstellen.
Sie können die Antwort nur in den Frequenzen erhalten, in denen der Eingang Energie hat.
Dies kann durch Frequenzanalyse des Eingangs und des Ausgangs erfolgen.
Wenn Ihr System tatsächlich LTI ist, wird die Verbindung zwischen Eingang und Ausgang durch Faltung mit der Impulsantwort hergestellt.
Faltung ist Multiplikation im Frequenzbereich, daher können Sie leicht die Impulsantwort erhalten (auch hier hat der Eingang nur bei Frequenzen Energie).

Aktualisieren

Dies ist ein schöner Fall, um die kommutative Eigenschaft der Faltung zu zeigen.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Wie oben beschrieben, wird das Problem auf eine Weise in Matrixform geschrieben.

— Royi
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Das Bild ist jetzt zurück. Sie haben anscheinend eine ganz bestimmte Frage. Daher ist meine Antwort, die viel allgemeiner war, nicht fokussiert genug.

— Royi