Welche Daten sollte ich zum Testen einer FFT-Implementierung verwenden und mit welcher Genauigkeit sollte ich rechnen?

Ich bin bemüht, einen FFT-Algorithmus zu implementieren, und bin gespannt, welche Empfehlungen für die Verwendung der eingegebenen Testdaten empfohlen werden - und warum! - und welche Genauigkeit zu erwarten.

Bei den Testeingaben habe ich in alten Usenet-Posts eine kleine Anleitung gefunden, die ich als Antwort posten werde, aber es sind nur die Vorschläge einer Person ohne viel Rechtfertigung - ich habe nichts gefunden, was nach einer soliden Antwort aussieht.

Zur Genauigkeit sagt Wikipedia, dass der Fehler O (e log N) sein sollte, aber was ist eine vernünftige Erwartung in absoluten Zahlen?

Bearbeiten zum Hinzufügen: Die eigentlichen Tests befinden sich in einer Form, in der ich Arrays von Eingabedaten und vorberechnete "Referenz" -Ausgabedaten gespeichert habe, mit denen ich vergleichen kann, sodass ich mit einer geschlossenen Form nicht unbedingt etwas brauche.

Wenn Sie einen FFT-Algorithmus auf Richtigkeit überprüfen möchten , in dem Sinne, dass er die gewünschte Funktion mit den bekannten Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation ausführt , können Sie den in folgenden Abschnitten vorgeschlagenen Ansatz verwenden:

Ergün, Funda. (1995, Juni). Testen multivariater linearer Funktionen: Überwindung des Generatorengpasses. In Proc. 27. Ann. ACM Symp. Theorie des Rechnens . (S. 407–416).

Das obige Papier wird von den Herstellern von FFTW als die Methode ihrer Wahl angegeben, um zu überprüfen, ob eine bestimmte FFT-Implementierung das tut, was sie sollte. Die vorgeschlagene Technik unterteilt die Funktion in drei Hauptkomponenten, die mit separaten Tests überprüft werden:

• Linearität: Die DFT (zusammen mit ihren anderen Cousin-Transformationen in der Fourier-Familie) ist ein linearer Operator . Daher muss für alle Werte von die folgende Gleichung gelten:$a_1, a_2, x_1[n], x_2[n]$

• DFT des Einheitsimpulses: Ein Zeitbereichssignal, das der Kronecker-Delta-Funktion entspricht, wird an den Eingang des FFT-Algorithmus angelegt und der Ausgang wird mit der bekannten DFT der Einheitsimpulsfunktion verglichen (es wird in allen Ausgängen ein konstanter Wert umgewandelt) Behälter). Wenn der FFT-Algorithmus eine IFFT bereitstellt, kann er umgekehrt getestet werden, um zu zeigen, dass er wieder die Einheitsimpulsfunktion liefert.

• Zeitverschiebung: Zwei Datensätze werden an die Eingabe des FFT-Algorithmus angelegt. Der einzige Unterschied zwischen den beiden im Zeitbereich ist eine konstante Zeitverschiebung. Basierend auf den bekannten Eigenschaften der DFT sollte dies eine bekannte lineare Phasenverschiebung zwischen den Frequenzdomänendarstellungen der beiden Signale bewirken, wobei die Steigung der Phasenverschiebung proportional zur Zeitverschiebung ist.

Die Autoren des Papers behaupten, dass diese Tests ausreichen, um die Richtigkeit einer FFT-Implementierung zu validieren. Ich habe diese Technik in der Vergangenheit nicht verwendet, aber sie scheint sinnvoll zu sein, und ich würde den Autoren von FFTW (die ein großartiges Stück freier Software erstellt haben) als glaubwürdige Autoritäten für gute Ansätze zur Lösung des Validierungsproblems vertrauen.

Wie in der Frage erwähnt, habe ich eine Reihe von Vorschlägen in archivierten comp.dsp-Usenet-Posts gefunden ( http://www.dsprelated.com/showmessage/71595/1.php , Post von "tdillon"):

A.Single FFT tests - N inputs and N outputs
 1.Input random data
 2.Inputs are all zeros
 3.Inputs are all ones (or some other nonzero value)
 4.Inputs alternate between +1 and -1.
 5.Input is e^(8*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 6.Input is cos(8*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.
 7.Input is e^((43/7)*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 8.Input is cos((43/7)*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.

B.Multi FFT tests - run continuous sets of random data
 1.Data sets start at times 0, N, 2N, 3N, 4N, ....
 2.Data sets start at times 0, N+1, 2N+2, 3N+3, 4N+4, ....

Der Thread schlägt außerdem vor, zwei Sinuslinien zu verwenden, eine mit großer und eine mit kleiner Amplitude.

Wie ich in der Hauptfrage sage, bin ich mir nicht sicher, ob dies eine besonders gute Reihe von Antworten ist oder ob es sehr vollständig ist, aber ich sage es hier, damit die Leute darüber abstimmen und Kommentare abgeben können.