Ableiten diskreter 2-D-Fourier-Transformationen

Ich habe ein Problem mit DFT. Es war eine meiner Fragen zu Prüfungsarbeiten im letzten Jahr.

Frage:

Lassen $F(u,v)$ sei die 2-D-Fourier-Transformation einer 2-D-stetigen Funktion $f(x,y)$ . Ableiten in Bezug auf $F(:,:)$ die 2-D-Fourier-Transformation jeder der folgenden Funktionen

1) $f(x,-2y)$

2) $f(x+2y,y)$

Ich weiß, wie man 1-D-Fourier-Transformationen macht, aber nicht 2-D. Ich bin mir nicht sicher, wie ich damit anfangen soll und brauche eine Anleitung.

Für den zweiten Teil war dies mein Ansatz. Bitte lassen Sie mich wissen, ob es richtig ist oder korrigieren Sie mich, wenn es falsch ist.

Sei $τ= x + 2y$ also $x = τ-2y$ und $dx = dτ$

\begin{aligned} F {f (x + 2 y, y)} & = \iint f (τ, y) e^{- j 2 π (u (τ - 2 y) + v y)} d x d v \\ F {f (x + 2 y, y)} & = \iint f (τ, y) e^{- j 2 π (u τ + (- 2 u + v) y)} d x d τ \\ F {f (x + 2 y, y)} & = F (u, - 2 u + v) \end{aligned}

$\begin{align} \mathfrak{F}\{f(x+2y,y)\}&=∬ f(τ,y)e^{−j2π(u(τ-2y) +vy )} dx\ dv\\ \mathfrak{F}\{f(x+2y,y)\}&= ∬ f(τ,y)e^{−j2π(uτ+(-2u+v)y )} dx\ dτ \\ \mathfrak{F}\{f(x+2y,y)\}&= F(u,-2u+v) \end{align}$

fourier-transform dft homework

— cnn lakshmen
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Hier ist der erste:

Per Definition,

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,-2y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

sei und umgekehrt $\tau = -2y$ $y=\frac{-\tau}{2}$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd(-\frac{\tau}{2})$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2}\iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd\tau$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2} F(u,-\frac{v}{2})$

Der andere wird schwieriger sein, aber ich werde es Ihnen überlassen.

— Jason B.
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Es wäre großartig, wenn Sie auch den anderen

— tun würden

@cnnlakshmen Es wäre wirklich großartig, wenn Sie versuchen würden, den anderen selbst zu machen :) Jason hat Ihnen den allgemeinen Weg gezeigt, um das Problem anzugehen, daher sehe ich keinen Grund, den anderen nicht ehrlich zu versuchen. Bitte behandeln Sie dies nicht als einen Ort für schnelle Antworten, sondern als einen Ort zum Lernen.

— Lorem Ipsum

Ich versuchte und blieb stecken ... deshalb ... fragte ihn noch einmal ...

— cnn lakshmen

Vielleicht möchten Sie uns Ihre Schritte für die zweite Frage zeigen? Sie können das hier einfach in die Frage einarbeiten (keine neue erforderlich) und wir können sehen, wo Sie stecken bleiben. Wenn wir wissen, was Sie falsch machen oder wo Sie stecken bleiben, können wir Ihnen den richtigen Weg weisen, anstatt nur die Antwort zu geben. In diesem Fall werden Sie nie wissen, was Sie nicht wussten, und alles bleibt Hokuspokus.

— Lorem Ipsum

Ich habe die Frage mit meiner Antwort aktualisiert, und ich habe das Gefühl, dass es falsch ist ... bitte helfen Sie mir zu überprüfen ...

— cnn lakshmen