Was ist mit "Impulsantwort" und "Frequenzantwort" eines Systems gemeint?

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Kann jemand den Unterschied zwischen Frequenzgang und Impulsgang in einfachem Englisch angeben?

— Ameisen
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Die Impulsantwort und die Frequenzantwort sind zwei Attribute, die zur Charakterisierung linearer zeitinvarianter (LTI) Systeme nützlich sind. Sie bieten zwei verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Ausgabe eines LTI-Systems für ein bestimmtes Eingangssignal. Ein zeitkontinuierliches LTI-System wird normalerweise folgendermaßen dargestellt:

LTI-Systemdiagramm

Im Allgemeinen bildet das System sein Eingangssignal auf ein entsprechendes Ausgangssignal . Es gibt viele Arten von LTI-Systemen, die sehr unterschiedliche Transformationen auf die durchlaufenden Signale anwenden können. Sie alle haben jedoch zwei Hauptmerkmale gemeinsam: $H$ $x(t)$ $y(t)$

Das System ist linear und folgt dem Prinzip der Überlagerung . Einfach ausgedrückt, wenn Sie zwei Signale linear kombinieren und in das System eingeben, entspricht der Ausgang der linearen Kombination dessen, was die Ausgänge gewesen wären, wenn die Signale einzeln durchlaufen worden wären. Das heißt, wenn einer Ausgabe von und einer Ausgabe von , dann gilt für alle Werte von und : $x_1(t)$ $y_1(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t)$ $a_1$ $a_2$

H {{ein}_{1} X_{1} (t) + {ein}_{2} X_{2} (t)} = {ein}_{1} y_{1} (t) + {ein}_{2} y_{2} (t)

$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

Das System ist zeitinvariant , sodass sich seine Eigenschaften mit der Zeit nicht ändern. Wenn Sie dem Eingangssignal eine Verzögerung hinzufügen, fügen Sie dem Ausgang einfach dieselbe Verzögerung hinzu. Für ein Eingangssignal , das einem Ausgangssignal , gilt für alle Werte von : $x(t)$ $y(t)$ $\tau$

H {X (t - τ)} = y (t - τ)

$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$

Zeitdiskrete LTI-Systeme haben dieselben Eigenschaften. Die Notation ist aufgrund des Unterschieds zwischen diskret und stetig unterschiedlich, aber sie sind sich sehr ähnlich. Diese Eigenschaften ermöglichen es, den Betrieb des Systems einfach unter Verwendung seiner Impuls- und Frequenzantworten zu charakterisieren. Sie bieten zwei Perspektiven auf das System, die in verschiedenen Kontexten verwendet werden können.

Impulsive Reaktion:

Der Impuls , auf den im Begriff Impulsantwort Bezug genommen wird, ist im Allgemeinen ein kurzzeitiges Zeitdomänensignal. Für zeitkontinuierliche Systeme ist dies die Dirac-Delta-Funktion , während für zeitdiskrete Systeme typischerweise die Kronecker-Delta-Funktion verwendet wird. Die Impulsantwort eines Systems (häufig mit für zeitkontinuierliche Systeme oder für zeitdiskrete Systeme bezeichnet) ist das Ausgangssignal, das sich ergibt, wenn ein Impuls an den Systemeingang angelegt wird. $\delta(t)$ $\delta[n]$ $h(t)$ $h[n]$

Warum ist das nützlich? Auf diese Weise können wir vorhersagen, wie die Systemausgabe im Zeitbereich aussehen wird. Erinnern Sie sich an die oben genannten Eigenschaften für Linearität und Zeitinvarianz? Wenn wir das Eingangssignal des Systems in eine Summe mehrerer Komponenten zerlegen können, ist die Ausgabe gleich der Summe der Systemausgaben für jede dieser Komponenten. Was wäre, wenn wir unser Eingangssignal in eine Summe skalierter und zeitversetzter Impulse zerlegen könnten? Dann wäre die Ausgabe gleich der Summe der Kopien der Impulsantwort, skaliert und zeitversetzt auf die gleiche Weise.

Für zeitdiskrete Systeme ist dies möglich, da Sie jedes Signal als Summe von skalierten und zeitversetzten Kronecker-Delta-Funktionen schreiben können : $x[n]$

X [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} X [k] δ [n - k]

$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$

Jeder Term in der Summe ist ein Impuls, der zu diesem Zeitpunkt mit dem Wert von skaliert ist . Was würden wir bekommen, wenn wir durch ein LTI-System führen würden, um ? Einfach: Jeder skalierte und zeitverzögerte Impuls, den wir eingeben, liefert eine skalierte und zeitverzögerte Kopie der Impulsantwort am Ausgang. Das ist: $x[n]$ $x[n]$ $y[n]$

y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} X [k] h [n - k]

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$

$h[n]$ $x[n]$ $y[n]$

Für zeitkontinuierliche Systeme ist die obige einfache Zerlegung streng mathematisch nicht möglich (das Dirac-Delta hat eine Breite von Null und eine unendliche Höhe), aber auf technischer Ebene ist es eine ungefähre, intuitive Sichtweise auf das Problem. Ein ähnlicher Faltungssatz gilt für diese Systeme:

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

$h(t)$ $L^2$ $L^2$

Zusammenfassend: Sowohl für zeitdiskrete als auch für zeitkontinuierliche Systeme ist die Impulsantwort nützlich, da damit die Ausgabe dieser Systeme für jedes Eingangssignal berechnet werden kann. Der Ausgang ist einfach das Eingangssignal, das mit der Impulsantwortfunktion verknüpft ist.

Frequenzgang:

Der Frequenzgang eines LTI-Systems bietet eine ähnliche Funktion: Mit dieser Funktion können Sie den Effekt berechnen, den ein System auf ein Eingangssignal hat, mit der Ausnahme, dass diese Effekte im Frequenzbereich dargestellt werden . Erinnern Sie sich an die Definition der Fourier-Transformation :

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} X (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Noch wichtiger für diese Illustration ist die Umkehrung:

X (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $f$ $f$ in der vorgenannten linearen Kombination. Diese Skalierungsfaktoren sind im Allgemeinen komplexe Zahlen. Eine Möglichkeit, komplexe Zahlen zu betrachten, ist das Amplituden- / Phasenformat:

X (f) = EIN (f) e^{j ϕ (f)}

$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$

$x(t)$ $A(f)$ $\phi(f)$ $x(t)$

Hier wird es besser: Exponentialfunktionen sind die Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme. Die Idee ist, ähnlich wie bei Eigenvektoren in der linearen Algebra, wenn Sie eine Exponentialfunktion in ein LTI-System einfügen, erhalten Sie dieselbe Exponentialfunktion, skaliert mit einem (im Allgemeinen komplexen) Wert. Dies hat zur Folge, dass Amplitude und Phase der von Ihnen eingegebenen Exponentialfunktion geändert werden.

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $H$ $Y(f)$

Y. (f) = H (f) X (f) = EIN (f) e^{j ϕ (f)} X (f)

$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$

$H(f)$ $X(f)$ $X(f)$ $A(f)$ $\phi(f)$

Bring sie zusammen:

Die Impulsantwort und die Frequenzantwort eines LTI-Systems hängen eng zusammen. Der Frequenzgang ist einfach die Fourier-Transformation der Impulsantwort des Systems (um zu sehen, warum diese Beziehung gilt, lesen Sie die Antworten auf diese andere Frage ). Also, für ein zeitkontinuierliches System:

H (f) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) e^{- j 2 π f t} d t

$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Wenn Sie also entweder die Impulsantwort oder die Frequenzantwort eines Systems angeben, können Sie die andere berechnen. Beides reicht aus, um das Verhalten des Systems vollständig zu charakterisieren. Die Impulsantwort ist nützlich, wenn im Zeitbereich gearbeitet wird, und die Frequenzantwort ist nützlich, wenn das Verhalten im Frequenzbereich analysiert wird.

— Jason R
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Wie kann man 1000 mal abstimmen? Die beste Antwort .. Aber sorry als SO Einschränkung kann ich nur +1 geben und die Antwort annehmen! :) Danke vielmals. . .

— Ameisen

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TOLLE! So viel besser als jedes Lehrbuch, das ich finden kann!

— Jase

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gute Antwort! :)

— jarryd

+1 und meinen tiefsten Dank für die Aufklärung für mich. :)

— codedude

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@heltonbiker Nein, die Sprungantwort ist redundant. Entweder die Impulsantwort oder die Frequenzantwort reicht aus, um ein LTI-System vollständig zu charakterisieren. Beachten Sie für den zeitdiskreten Fall, dass Sie eine Sprungfunktion als unendliche Summe von Impulsen schreiben können. Aufgrund der Linearitätseigenschaft des Systems ist die Sprungantwort nur eine unendliche Summe richtig verzögerter Impulsantworten.

— Jason R

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Schlagen Sie einmal scharf auf etwas und zeichnen Sie auf, wie es im Zeitbereich reagiert (wie bei einem Oszilloskop oder Stiftplotter). Das kommt der Impulsantwort sehr nahe.

Holen Sie sich einen Tongenerator und vibrieren Sie etwas mit unterschiedlichen Frequenzen. Einige Resonanzfrequenzen werden verstärkt. Bei anderen kann es sein, dass es überhaupt nicht reagiert. Tragen Sie die Größe und Phase des Ansprechverhaltens in Abhängigkeit von der Eingangsfrequenz auf. Das kommt dem Frequenzgang sehr nahe.

Bei bestimmten gängigen Systemklassen (bei denen sich das System im Laufe der Zeit nicht wesentlich ändert und bei denen die Nichtlinearität klein genug ist, um sie für den jeweiligen Zweck zu ignorieren) hängen die beiden Antworten zusammen, und möglicherweise ist eine Laplace- oder Fourier-Transformation anwendbar um die Beziehung zu approximieren.

— hotpaw2
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Die Impulsantwort ist die Reaktion eines Systems auf einen einzelnen Impuls von unendlich kleiner Dauer und Einheitsenergie (ein Dirac-Impuls). Der Frequenzgang gibt an, wie stark die einzelnen Frequenzen vom System gedämpft oder verstärkt werden.

Der Frequenzgang eines Systems ist der in den Frequenzbereich transformierte Impulsgang. Wenn Sie eine Impulsantwort haben, können Sie die Frequenzantwort mit der FFT ermitteln und mit der inversen FFT von einer Frequenzantwort zu einer Impulsantwort wechseln.

— Han
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Es sollte vielleicht angemerkt werden, dass dies nur für lineare und zeitinvariante

— Paul R

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Kurz gesagt, wir haben zwei Arten von Grundreaktionen: Zeitreaktionen und Frequenzreaktionen . Zeitantworten testen, wie das System bei einer momentanen Störung arbeitet, während die Frequenzantworten es bei einer kontinuierlichen Störung testen. Zeitantworten enthalten Dinge wie Sprungantwort, Rampenantwort und Impulsantwort . Frequenzgänge enthalten Sinusgänge .

Aalto - Universität hat einige natürlich Mat-2,4129 Material frei hier , relevanteste wahrscheinlich die Matlab Dateien , weil die meisten Sachen auf Finnisch. Wenn Sie mehr interessiert sind, können Sie die folgenden Videos für Einführungsvideos überprüfen. Ich fand sie selbst hilfreich.

Ich habe nur sehr grundlegende Kenntnisse über LTI-Probleme, daher werde ich sie im Folgenden behandeln - aber es gibt sicherlich viel mehr verschiedene Arten von Problemen!

Antworten mit linearen zeitinvarianten Problemen

Bei LTI-Problemen (linear time-invariant) müssen Ein- und Ausgang die gleiche Form haben: Der sinusförmige Eingang hat einen sinusförmigen Ausgang, und in ähnlicher Weise führt der schrittweise Eingang zum schrittweisen Ausgang. Wenn Sie kein LTI-System haben - sagen wir, Sie haben Feedback oder Ihre Kontrolle / Rauschen und Eingabe korrelieren -, sind möglicherweise alle obigen Aussagen falsch. Mit LTI erhalten Sie zwei Arten von Änderungen: Phasenverschiebung und Amplitudenänderung, aber die Frequenz bleibt gleich. Wenn Sie einige Annahmen brechen, z. B. mit Nicht-Korrelations-Annahmen, dann können die Eingabe und Ausgabe sehr unterschiedliche Formen haben.

Wenn Sie untersuchen müssen, ob ein System LTI ist oder nicht, können Sie Tools wie die Wiener-Hopf-Gleichung und die Korrelationsanalyse verwenden. Die Wiener-Hopf-Gleichung wird bei lauten Systemen verwendet. Es ist wichtig, die Ergebnisse zu validieren und die Prämissen zu überprüfen, da sonst leicht Fehler mit unterschiedlichen Antworten gemacht werden können. Mehr zur Ermittlung der Impulsantwort bei lautem System hier .

Verweise

Wikipedia-Artikel über LTI hier

Sehr gute Einführungsvideos zu verschiedenen Antworten hier und hier - ein paar wichtige Punkte unten.

— hhh
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(nicht verwandte Frage): Wie hast du den Schnappschuss des Videos erstellt?

— Alexey

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@alexey sucht in einigen App Stores oder Browser-Apps nach "Collage" -Apps.

— hhh