Ausgangsbedingungen für im Zustandsraum beschriebene Systeme - LTI oder nicht?

Angenommen, wir haben ein System von

$$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t) +Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned}$$

Dabei sind die Zustandsvariablen, die Ausgabe und die Eingabe. Alle Matrizen sind konstant. Die gleiche Frage gilt für den Einzelfall$x(t)$$y(t)$$u(t)$

$$\begin{aligned} x[n+1] &= Ax[n] +Bu[n] \\ y[n] &= Cx[n]+Du[n] \end{aligned}$$

Es ist bekannt, dass ein System mit Anfangsbedingungen ungleich Null kein LTI sein kann . Wenn jedoch , verstehe ich nicht, warum das obige System nicht LTI wäre, wie es ausgedrückt wird. Soweit ich weiß, muss ein System, wenn es so ausgedrückt wird, linear sein, und da Matrizen nicht von abhängen , sollte es auch zeitinvariant sein.$x(0)\neq0$$t$

Wir haben also ein System, das LTI sein muss, wie es im Zustandsraum mit konstanten Matrizen ausgedrückt wird, aber es kann nicht LTI sein, weil es .$x(0)\neq0$

Ich kann den Fehler in der Argumentation nicht sehen, der mich zu diesem absurden Widerspruch führt. Kann jemand darauf hinweisen?

Ich bin nur ein Student im Grundstudium, daher ist meine Antwort vielleicht etwas naiv, aber laut Oppenheim sind es nicht nur Anfangsbedingungen ungleich Null, die dazu führen, dass eine lineare Differential- / Differenzgleichung mit konstantem Koeffizienten nicht LTI ist. Eine Differential- / Differenzgleichung mit festen Null- Anfangsbedingungen kann ebenfalls kein LTI sein. Für eine lineare Differential- / Differenzgleichung mit konstantem Koeffizienten, die ein kausales LTI-System beschreibt, müssen die Anfangsbedingungen die Bedingung der anfänglichen Ruhe erfüllen: Das heißt, die Ausgabe wird nicht ungleich Null, bis die Eingabe ungleich Null wird.

Beachten Sie in Bezug auf Ihre Frage (die Zustandsraumdarstellung), dass die Eingabe in das System und die Ausgabe . Die Eigenschaft "Null-Eingang / Null-Ausgang" linearer Systeme gilt nur für wenn , wenn wir nur als Eingang betrachten für das System, aber scheint mir, dass der Begriff der Linearität auf Zustandsraumdarstellungen erweitert werden kann, um den Zustandsvektor zu berücksichtigen . In jedem Fall die Anfangsbedingungen, auf die sich Oppenheim bezieht, wenn es um Differentialgleichungen geht (Bedingungen am Ausgang$u(t)$$y(t)$

$$y(t) = C x(t) + Du(t)$$ $x(t) = 0$$u(t)$$x(t)$$y(t)$und seine Ableitungen) sind nicht dieselben wie die Anfangsbedingungen, auf die Sie in Ihrer Frage verwiesen haben (Bedingungen für den Zustandsvektor ). Auch hier weiß ich nicht, ob ich richtig liege, und ich war selbst immer verwirrt, aber vielleicht könnte dies helfen.$x(t)$

Wenn Sie sich Kapitel 5 von ansehen:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

Gleichung 5.33 mit dem Titel "Eigenschaften von LTI-Zustandsraummodellen" scheint kein Problem mit den Anfangsbedingungen oder einem anderen Buch (ich stehe korrigiert, es gibt ein Buch) zu haben, das mir bekannt ist. Sofern Oppenheim nicht vom Wahnsinn berührt wurde, neige ich dazu, seine Charakterisierung zu akzeptieren, dass Anfangsbedingungen ein LTI-System nicht als "nicht linear" disqualifizieren, indem er den Begriff "Null-Eingabe linear" verwendet.

Zu Beginn der Notizen (und in der 3. Ausgabe von Oppenheim und Shaefer) wird ein LTI-System angegeben als:

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[ n -k]$$ was nicht erfordert, dass kausal oder stabil ist. muss nicht erfüllen .$h[n]$$x[n]$$x[n]=0 \;\text{for} \; n <0$

Der Text betont, dass man die gesamte Geschichte von berücksichtigen muss , nicht nur für .$x[n]$$n \ge 0$

sei wobei

$$x[n] = \hat{x}[n]+\tilde{x}[n]$$ $$\hat{x}[n] = \begin{cases} x[n]\; \text{for}\; n<0 \; \text{and}\\ 0 \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

und durch Linearität.

$$\tilde{x}[n] = \begin{cases}0\; \text{for} \; n<0 \; \text{and}\; \\ x[n] \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k] + \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{x}[k] h[ n -k]$$ Wenn kausal ist, ist $y[n]$ $$y[n]=\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \tilde{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

Der wesentliche Punkt ist, dass die Anfangsbedingungen die vorherige Eingabe berücksichtigen. Wobei für wird, ist willkürlich, was eine weitere Manifestation der Zeitinvarianz ist. Anfangsbedingungen sind keine willkürlichen Werte, die das System stören. Wenn für die Anfangsbedingungen Null. $n=0$$x[n]$$x[n] = 0$$n <0$

Versuchen wir etwas anderes. Sei (um eine Stichprobe vorrücken) und mit war das System LTI ohne Kontroversen. Aber jetzt ist und jetzt haben wir eine Anfangsbedingung. Eine Vorwärtsverschiebung von 1 Stichprobe würde ein LTI-System nichtlinear machen?$z[n]=\tilde{x}[n+1]$$\tilde{x}[n]$

$$y[n]=\underbrace{ z[-1] h[n]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} z[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

Der logische Irrtum an der Wurzel der Frage besteht darin, die Definition der Nullzustandslinearität zu verwenden und sie auf den Null-Eingabefall anzuwenden.