Ersetzen von "e" in Eulers Formel durch eine andere Zahl

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Bleibt die Euler-Formel gültig, wenn wir eine andere reelle Zahl als die Konstante $e$ ? Wenn Sie beispielsweise $e$ durch 5 ersetzen, sieht die Formel folgendermaßen aus: $5^{it}$ .

Ich habe diese Idee in Matlab ausprobiert und $e$ durch wenige andere reelle Zahlen (z. B. 1,5, 10, 2,1) ersetzt, und jedes Mal zeigte die Darstellung immer noch, was wie Kosinus- und Sinuswellen schien. Die Frequenz von cos und sin änderte sich je nach Basis.

Hier ist ungefähr mein Ansatz:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

— neugierig
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Angenommen, Sie interessieren sich für Man beachte, dass so dass geschrieben werden kann als

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

M = e^{\log M},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

die eine komplexe Sinuskurve mitFrequenz ist. Deshalb führt die Verwendung vonanstelle vonzu einer Änderung der Frequenz.

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0} t} & = {(e^{\log M})}^{j 2 π f_{0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0} \log M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0} \log M) t) + j \sin (2 π (f_{0} \log M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

— MBaz
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Das ist eine interessante Frage. Mal sehen, welche komplexen Zahlen ungleich Null die Eigenschaft haben, dass sie in der klassischen Formel "wie " wirken , dh dass für alle Komplexe $w$ $e$

e^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$

. Nehmen wir zur Vereinfachung an, wir können

schreiben

z = x + i y

$z=x+iy$

w = r e^{i t}

$w=re^{it}$

$w^z$

w^{z} = e^{z \log w} = e^{(x + i y) (\overset{possible values of \log w}{\overset{⏞}{\ln r + i t + 2 k π i}})} = e^{(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

$e^z=w^z$

(x + y i) - [(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)] = 2 π n i

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$

n

$n$

{\begin{cases} x = x \ln r - y t - 2 k π y \\ y = y \ln r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$

z

$z$

x, y

$x,y$

r = e

$r=e$

t = k = n = 0

$t=k=n=0$

$w =e\cdot e^{0i}=e$ $w$

— MPW
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$a= e^{ln(a)}$ $e^x$

a^{i t} = e^{\ln (a^{i t})} = e^{i t \ln (a)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$

a^{i t} = e^{i (t \ln (a))} = \cos (t \ln (a)) + i \sin (t \ln (a)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

— HallsofIvy
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a

$a$

a > 0

$a>0$

a^{i t}

$a^{it}$

a^{i t} = e^{i t (\ln a + 2 π k i)} = e^{- 2 π k t + i t \ln a} = e^{- 2 π k t} (\cos (t \ln a) + i \sin (t \ln a))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$

k = 0

$k=0$

a

$a$