Was ist normalisierte Frequenz

Ich arbeite an DSP und habe Schwierigkeiten, den Begriff Normalisierte Frequenz zu verstehen, der häufig bei DFT und DTFT verwendet wird.

Was ist die normalisierte Frequenz in DSP? und wie unterscheidet es sich von der analogen Frequenz?

Welche Bedeutung hat die Normalisierung der Frequenz in DSP?

Warum ist die Grenze der normalisierten Frequenz 2π?

Wie geht FFT mit normalisierter Frequenz um?

dft

— user6363
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Die normalisierte Frequenz ist die Frequenz in Einheiten von Zyklen / Abtastung oder Bogenmaß / Abtastung, die üblicherweise als Frequenzachse für die Darstellung digitaler Signale verwendet wird.

Wenn die Einheiten Zyklen / Abtastung sind, beträgt die Abtastrate 1 (1 Zyklus pro Abtastung) und das eindeutige digitale Signal in der ersten Nyquist-Zone liegt bei einer Abtastrate von -0,5 bis +0,5 Zyklen pro Abtastung. Dies ist das Frequenzäquivalent zur Darstellung der Zeitachse in Einheiten von Abtastwerten anstelle eines tatsächlichen Zeitintervalls wie Sekunden.

Wenn die Einheiten Radiant / Abtastwert sind, beträgt die Abtastrate ( Radiant pro Abtastung) und das eindeutige digitale Signal in der ersten Nyquist-Zone liegt von einer Abtastrate von bis . $2\pi$ $2\pi$ $-\pi$ $+\pi$

Wie dies zustande kommt, geht aus folgenden Ausdrücken hervor:

Für ein analoges Signal mit wobei F die analogen Frequenzeinheiten in Hz ist,

x (t) = Sünde (2 π F. t)

$x(t)=\sin(2\pi F t)$

Bei Abtastung mit einer Abtastfrequenz von Hz beträgt das Abtastintervall so dass das Signal nach der Abtastung wie folgt angegeben wird: $F_s$ $T_s=1/F_s$

x (n {T.}_{s}) = Sünde (2 π F. n {T.}_{s}) = Sünde (\frac{2 π F.}{{F.}_{s}} n)

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

Wenn die Einheiten der normalisierten Frequenz entweder in Zyklen / Stichprobe oder in Bogenmaß / Stichprobe sind, wird dies deutlich angezeigt. $\frac{F}{F_s}$ $\frac{2\pi F}{F_s}$

Dies wird unten mit veranschaulicht $\Omega = 2\pi F$

Update: Wie @ Fat32 in den Kommentaren ausführt, sollten die Einheiten für die Abtastrate in der folgenden Abbildung "Abtastwerte / Sek." , damit die normalisierte Frequenz Radiant / Abtastwert wird. $F_s$

$e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ) wie in der folgenden Grafik dargestellt, die einen komplexen Zeiger zeigt, der sich mit einer Frequenz von 2 Hz dreht, und den zugehörigen Kosinus und Sinus (die reale und imaginäre Achse). Jeder Punkt in einer DFT ist ein einzelner Frequenzton, der als einzelner rotierender Zeiger in der Zeit dargestellt wird. Ein solcher Ton in einem analogen System würde sich kontinuierlich (gegen den Uhrzeigersinn bei einer positiven Frequenz und gegen den Uhrzeigersinn bei einer negativen Frequenz) mit F Umdrehungen pro Sekunde drehen, wobei F die Frequenz in Hz oder Zyklen / Sekunde ist. Nach der Abtastung ist die Drehung mit der gleichen Geschwindigkeit, jedoch in diskreten Abtastwerten, wobei jede Abtastung einen konstanten Winkel im Bogenmaß aufweist, und somit kann die Frequenz als Bogenmaß / Abtastwert quantifiziert werden, der die Rotationsgeschwindigkeit des Zeigers darstellt.

— Dan Boschen
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Ich war erst in der Mitte meines Kaffees! Kompletter Fehler, jetzt behoben

— Dan Boschen

Die FFT verwendet typischerweise noch eine weitere Einheit für die Frequenzachse, die als Frequenzindex bezeichnet wird und von 0 bis N-1 reicht, wobei N die Anzahl der in der FFT verwendeten Abtastwerte ist. Dies wird der normalisierten Frequenz zugeordnet, indem N mit 1 Zyklus / Probe gleichgesetzt wird. Wenn Sie also die FFT-Frequenz durch N teilen, erhalten Sie die normalisierte Frequenz in Zyklen / Abtastung. Wenn ich beispielsweise 10 Abtastwerte in der FFT in einem mit 100 Hz abgetasteten System habe, gehen die Frequenzbereiche im FFT-Ergebnis von 0, 10, 20 ... 90 Hz. N-1 = 9 und 100 Hz repräsentieren 1 Probe pro Zyklus. Hoffe das hat geholfen.

— Dan Boschen

Ja, ich verstehe - die Abtastrate sollte in Einheiten von "Abtastungen pro Sekunde" angegeben werden, damit dies funktioniert, guter Punkt @ Fat32! Konsistente Einheiten sind wichtig.

— Dan Boschen

2 π

$2\pi$

0.5 π

$0.5\pi$

Nein, ich sagte, Bin 9 ist 90 Hz und das ist richtig. Es ist auch richtig, dass bin [9] -10 Hz ist. Schauen Sie sich die Frequenzdiagramme an, die sowohl i als auch Fat32 veröffentlicht haben, und Sie können sehen, dass die Frequenzen von 0 bis Fs mit 0 bis Fs / 2 und -Fs / 2 bis 0 identisch sind! Für eine 10-Punkt-FFT in einem 100-Hz-System sind die Frequenzen also beide 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 UND gleichermaßen 0, 10, 20, 30, 40, 50, - 40, -30, -20, -10! Schauen Sie sich FFTSHIFT in Matlab an, während es diese Übersetzung macht. Wenn dies immer noch verwirrend ist, wäre dies eine andere Frage (oder die Suche, wenn sie bereits beantwortet wurde)

— Dan Boschen

Die folgende Abbildung zeigt auch eine vereinfachte grafische Ansicht des Frequenznormalisierungsverfahrens als Ergebnis der Abtastung eines zeitkontinuierlichen Signals

— Fat32
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