Wann ist die kubische Spline-Interpolation besser als ein interpolierendes Polynom?

Die folgende Darstellung ist eine geringfügige Variation eines Beispiels in einem Lehrbuch. Der Autor hat dieses Beispiel verwendet, um zu veranschaulichen, dass ein Interpolationspolynom über gleich beabstandete Abtastwerte nahe den Enden des Interpolationsintervalls große Schwingungen aufweist. Natürlich liefert die kubische Spline-Interpolation eine gute Annäherung über das gesamte Intervall. Ich war jahrelang der Meinung, dass eine Polynominterpolation hoher Ordnung über gleich beabstandete Abtastwerte aus dem hier dargestellten Grund vermieden werden sollte.

Kürzlich habe ich jedoch viele Beispiele für bandbegrenzte Signale gefunden, bei denen ein Interpolationspolynom hoher Ordnung weniger Approximationsfehler ergibt als eine kubische Spline-Interpolation. Typischerweise ist ein Interpolationspolynom über das gesamte Interpolationsintervall genauer, wenn die Abtastrate ausreichend hoch ist. Dies scheint zu gelten, wenn die Abtastwerte mit einer Abtastrate, die mindestens dreimal größer als die Nyquist-Frequenz des Signals ist, gleich beabstandet sind. Darüber hinaus verbessert sich der Vorteil gegenüber der kubischen Spline-Interpolation mit zunehmender (Abtastrate) / (Nyquist-Frequenz).

Als Beispiel vergleiche ich die Kubik-Spline-Interpolation mit einem Interpolationspolynom für eine Sinuswelle mit einer Nyquist-Frequenz von 2 Hz und einer Abtastrate von 6,5 Hz. Zwischen den Abtastpunkten sieht das interpolierende Polynom genauso aus wie das tatsächliche Signal.

Unten vergleiche ich den Fehler in den beiden Näherungen. Wie im ersten Beispiel ist die Polynominterpolation am Anfang und am Ende des Abtastintervalls am schlechtesten. Das interpolierende Polynom weist jedoch über das gesamte Abtastintervall weniger Fehler als ein kubischer Spline auf. Das Interpolationspolynom weist auch weniger Fehler auf, wenn über ein kleines Intervall extrapoliert wird. Habe ich eine bekannte Tatsache entdeckt? Wenn ja, wo kann ich darüber lesen?

interpolation

— Ted Ersek
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Nähern Sie sich einer Formel oder Daten? Wenn Sie eine Formel wie diese haben, können Sie immer fortgeschrittenere Splines verwenden, bei denen auch die Ableitungen höherer Ordnung berücksichtigt werden. Sie sollten auch überprüfen, ob der kubische Spline eine bestimmte "Energie" -Funktion minimiert. Schauen Sie sich wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation an . In gewissem Sinne kann man Krümmungsminimierung nicht besser machen. Eine alternative Interpretation ist, dass kubische Splines zum Anpassen verwendet wurden / werden; nicht annähernd. "Anpassen" impliziert, dass eine bestimmte Metrik optimiert werden muss.

— Rrogers

@rrogers, ich dachte, ein interpolierendes Polynom wäre ein besserer Ansatz, wenn man die Funktion aus gemessenen Abtastwerten abschätzen möchte und die Bandbreite des Signals bekanntermaßen weniger als 1/6 der Abtastrate beträgt. Es

— Ted Ersek

@ TedErsek: Eine qualitative Überlegung: Polynomfunktionen weichen naturgemäß von als Abszissenvariable . Dieser Effekt wird mit zunehmender Polynomordnung verstärkt. Beachten Sie, dass in Ihrem ersten Beispiel das zu approximierende Signal gegen Ende des Interpolationsintervalls auf Null abfällt. Dies ist nicht kompatibel mit dem asymptotischen Verhalten des Interpolanten. Das zweite Diagramm weist eine steile Steigung und Werte ungleich Null in der Nähe der Intervallkanten auf, sodass Sie eine bessere Annäherung erhalten. Nicht sehr theoretisch hier, nur eine Beobachtung.

\pm \infty

$\pm \infty$

\to \infty

$\to \infty$

— Jason R

@ TedErsek Als praktische Nebenbemerkung zu Ted Erseks Kommentar; Haben Sie eine rationale Polynomnäherung versucht? Übrigens: Ich habe die kostenlose Kopie eines Programms zur Schätzung der Kurvenformel von vor einem Jahr, das wirklich ziemlich gut funktioniert. Das Programm ging von der Beta bis zur Zahlung, daher habe ich nicht die aktuelle Version.

— Rrogers

@ JasonR Ich wollte meinen letzten Kommentar an Sie richten. Zurück zum Thema: Auf jeden Fall gibt es en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials , die einheitliche Fehler (min / max) -Anpassungen in Polynomen liefern, wenn Sie die Funktion kennen. Wenn Sie die Funktion kennen, können Sie jederzeit einen "Matched Filter" synthetisieren.

— Rrogers

Das diskutierte Phänomen ist Runges Phänomen .

Der maximale Absolutwert der ten Ableitung von ist . Für Runge Funktion der maximale Absolutwert des - ten (even) Derivat wobeibezeichnet Fakultät. Dies ist ein viel schnelleres Wachstum. Nur wenn die Ableitungen durch Erhöhen von zu schnell wachsen , ist es möglich, dass der Interpolationsfehler mit zunehmender Interpolationsreihenfolge divergiert. Exponential in ist noch nicht zu schnell. Schauen Sie sich an: James F. Epperson, Am Beispiel der Runge , The American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, S. 329-341. $n$ $\sin(\omega t)$ $\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$ $n$ $5^nn!,$ $n!$ $n$ $n$

Wenn eine Funktion nur kontinuierliche Ableitungen hat, konvergiert der konkurrierende Ansatz der stückweisen Polynom-Spline-Interpolation immer dann, wenn eine kleine feste Anzahl ihrer frühen Ableitungen über das interessierende Intervall begrenzt ist, siehe Wikipedia-Artikel zur linearen Interpolation als Beispiel.

Wenn beide Methoden konvergieren, hat die (nicht stückweise) Polynominterpolation den Vorteil eines höheren Polynomgrades, wenn viele Stichproben verwendet werden, und kann eine bessere Annäherung liefern, wie Sie in Ihrem Sinusbeispiel gesehen haben. Sie könnten auch an LN Trefethen interessiert sein, zwei Ergebnisse zur Polynominterpolation in Punkten mit gleichem Abstand , Journal of Approximation Theory Volume 65, Ausgabe 3, Juni 1991, Seiten 247-260. Zitat:

[...] Bei der bandbegrenzten Interpolation komplexer Exponentialfunktionen verringert sich der Fehler genau dann auf als wenn klein genug ist, um mindestens sechs Punkte pro Wellenlänge bereitzustellen. $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ $0$ $n \to \infty$ $\alpha$

Sie haben 6,5 Samples pro Wellenlänge.

— Olli Niemitalo
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