Intuition für Nebenkeulen in FFT

Ich habe mich gefragt, ob es eine intuitive Möglichkeit gibt, zu verstehen, warum Nebenkeulen auftreten, wenn eine FFT mit einem Signal fester Länge durchgeführt wird.

Ich habe zwei Erklärungen mit der Absicht, zusätzliche intuitive Einblicke zu liefern, die über die prägnante mathematische Erklärung hinausgehen. Zunächst eine Erklärung aus der Fourier-Reihenerweiterung zusammen mit der Idee, die verkürzte Zeitbereichssequenz zu wiederholen, die die impliziten Diskontinuitäten zeigt, die sich ergeben und für deren Rekonstruktion mehr Frequenzkomponenten erforderlich sind, als tatsächlich existieren würden, wenn die Wellenform nicht abgeschnitten wäre. Und zweitens eine Erklärung, wenn man die DFT als eine Bank von nicht so großartigen Filtern betrachtet.

Erste Erklärung: Fourierreihenerweiterung und Zeitperiodizität

Die Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten Sequenz ist identisch mit der Fourier-Transformation einer Sequenz, die für alle Zeiten periodisch ist.

Dies gilt sowohl für die Fourier-Transformation als auch für die diskrete Fourier-Transformation und ist als Periodizitätseigenschaft der DFT bekannt:

Periodizitätseigenschaft: Gegeben ist der N-Punkt-DFT-Vektor X [k] mit einer inversen DFT-Abtastung x [n], wobei sowohl k als auch n im Bereich von 0 bis N-1 liegen; wenn n außerhalb des Bereichs von 0,1,2 ..., N-1 liegt, dann

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

Ebenso liegt bei einer N-Punkt-Zeitsequenz x [n] mit einer DFT X [k], wenn k außerhalb des Bereichs von 0, 1,2, ..., N-1 liegt, dann

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Um ein intuitives Verständnis zu erlangen, ist es wichtig, dass alles, was in einer Domäne abgetastet wird, in der anderen Domäne periodisch wird. In ähnlicher Weise wird alles, was in einer Domäne periodisch ist, in der anderen Domäne abgetastet (mit diskreten Werten). Hier bedeutet speziell "abgetastet", dass das Signal nur als Nicht-Null-Werte an diskreten Stellen in der Domäne (Impulsstrom) existiert.

Abtastung in einer Domäne -> Periodizität in der anderen Domäne : Betrachten Sie das Spektrum einer analogen 3-Hz-Kosinuswelle vor und nach der Abtastung mit einem A / D-Wandler. Das digitale Spektrum kann als periodisch angesehen werden; Eine Zylinderansicht des digitalen Spektrums ist auch eine gültige Ansicht, um die Periodizität zu erklären, aber ich finde, dass diese Erweiterung des analogen Frequenzbereichs (indem die Frequenz auf +/- unendlich erweitert wird) einigen hilft, eine intuitive Ansicht der beteiligten Signalverarbeitung zu erhalten .

Periodizität in einer Domäne -> Abtastung in der anderen Domäne : Betrachten Sie die Fourier-Reihenerweiterung als einfaches Beispiel für diese Eigenschaft. Die Fourierreihenerweiterung erfolgt über ein endliches Zeitbereichsintervall von 0 bis T. Bei Zerlegung in separate Frequenzkomponenten werden nur DC, die Grundfrequenz 1 / T und ganzzahlige Vielfache von 1 / T (Harmonische) verwendet. Da die Frequenzen nur bei Vielfachen von 1 / T (und DC) existieren können, wurde der Frequenzbereich abgetastet.

Wenn wir die Zeitbereichswellenform rekonstruieren, indem wir die einzelnen Frequenzkomponenten summieren, können wir auch die implizite Periodizität im Zeitbereich anzeigen, wenn wir zulassen, dass sich die Frequenzkomponenten über das Intervall 0 bis T hinaus erstrecken. Dies liegt an dieser Periodizität Diese Frequenzkomponenten können bei keiner anderen Frequenz als einem Vielfachen von 1 / T existieren (aufgrund der entgegengesetzten Bedingung: Wenn sie existieren würden, würden sie nicht konsistent im Zeitintervall von 0 bis T beginnen und enden, und daher kann keine Periodizität existieren).

Das Verständnis des oben Gesagten wird hoffentlich dazu beitragen, eine intuitive Erklärung der spektralen Leckage zu liefern. Also werde ich jetzt einen Hauptpunkt wiederholen:

Die Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten Sequenz ist identisch mit der Fourier-Transformation einer Sequenz, die für alle Zeiten periodisch ist.

Spektrale Leckage mit der Ansicht " Fourier-Reihenerweiterung ":

Betrachten Sie zwei sinusförmige Wellenformen im Zeitintervall von 0 bis T, die erste mit einer ganzzahligen Anzahl von Zyklen über das Zeitintervall und die zweite mit einer nicht ganzzahligen Anzahl von Zyklen.

In Fall 1 können wir mit der Wiederholungsansicht klar erkennen, dass selbst das Wiederholen unserer reinen Sinuskurve eine reine Sinuskurve bleibt, aber in Fall 2 leidet unsere Sinuskurve jetzt unter abrupten Übergängen, und die Verwendung der Fourier-Reihenexpansionsansicht der Rekonstruktion würde mehrere Frequenzkomponenten erfordern Rekonstruieren Sie eine solche Wellenform im Zeitbereich.

Zweite Erklärung: Filterbankansicht der DFT

Eine weitere intuitive Erklärung für spektrale Leckage (und hilft erheblich beim Verständnis der DFT im Allgemeinen) ist die Filterbankansicht der DFT. Um dies zu sehen, betrachten Sie eine einfache 4-Punkt-DFT, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, und beobachten Sie für jeden Bin, dass wir das Signal effektiv drehen und dann die gedrehten Werte durch ein FIR-Filter mit 4-Stufen-Einheitsverstärkung leiten. Für den ersten Behälter, der DC entspricht, gibt es keine Drehung, also addieren wir nur die vier Abtastwerte, und für die anderen Behälter drehen wir uns progressiv mit höheren Frequenzen, wenn wir uns durch die DFT-Behälter bewegen:

(Randnotiz: Wenn wir eine Streaming-DFT durchführen würden, bei der wir beim Durchsuchen einer Wellenform eine neue 4-Punkt-DFT für eine 4-Punkt-Sequenz berechnen würden, wäre dies genau eine solche Filterbank, aber unabhängig davon, ob wir dies tun oder nicht Die Ansicht bietet neben der üblichen Faltung einer Sinc-Funktion im Frequenzbereich, die die mathematische Erklärung zeigt, einen guten Einblick in die spektrale Leckage.

Betrachten Sie nun den Frequenzgang für jedes äquivalente FIR-Filter unter Verwendung der in der DFT angegebenen Koeffizienten (verwenden Sie beispielsweise freqz ([Koeffizient]) in Matlab oder Python), wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Hier ist der Hauptpunkt: Da jedes Filter in der Konstruktion der DFT im Grunde ein FIR-Filter mit Einheitsverstärkung ist, nähert sich die Form dieses Filters in der Frequenz einer Sinc-Funktion, wenn die Länge der DFT länger wird (und ist eine Alias-Sinc-Funktion für kleines N). Wir werden diese Sinc-Filter nennen und feststellen, dass ein Sinc-Filter relativ hohe Nebenkeulen und eine Hüllkurve hat, die mit der Frequenz sehr langsam abfällt (bei 1 / f für einen reinen Sinc). Mit den Phasenrotatoren in der DFT verschieben wir nur die Hauptkeule dieses Sinc-Filters in jeden interessierenden Behälter, aber die Nebenkeulen, die für jeden Behälter vorhanden sind, ermöglichen es Frequenzen an anderen Stellen, Energie in diesem Behälter erscheinen zu lassen . Das Ausmaß der Leckage wird von diesen Filtern vollständig vorhergesagt.

Betrachten Sie in dieser Ansicht ein einfarbiges Eingangssignal mit einer Frequenz, die irgendwo zwischen zwei Frequenzbereichen liegt (siehe Abbildung unten) (ein Eingang, der genau in einem beliebigen Bereich vorhanden ist, hat eine ganzzahlige Anzahl von Zyklen im Zeitbereichsintervall und daher KEINE spektrale Leckage, wie wir zuvor gezeigt haben). Das obere Filter zeigt die Amplitude an diesem Frequenzort an, die in den ersten Behälter "leckt". Der zweite Filter zeigt die Amplitude (etwas höher), der dritte Bin (dem unsere Frequenz am nächsten liegt) hat die höchste Antwort und der vierte Bin ist niedriger.

ZUSAMMENFASSUNG

Ich habe zwei Erklärungen mit der Absicht vorgelegt, zusätzliche intuitive Informationen bereitzustellenEinsicht jenseits der prägnanten mathematischen Erklärung der Multiplikation mit einem rechteckigen Fenster im Zeitbereich ist die Faltung im Frequenzbereich (und die Leckage, die wir sehen, ist das Ergebnis einer Sinc-Funktion, die sich in der Frequenz mit unserer interessierenden Wellenform faltet, die wir zeitlich abgeschnitten haben). ;; Zunächst eine Erklärung aus der Fourier-Reihenerweiterung zusammen mit der Idee, die verkürzte Zeitbereichssequenz zu wiederholen, die die impliziten Diskontinuitäten zeigt, die sich ergeben und für deren Rekonstruktion mehr Frequenzkomponenten erforderlich sind, als tatsächlich existieren würden, wenn die Wellenform nicht abgeschnitten wäre. Und zweitens eine Erklärung aus der Betrachtung der DFT als eine Bank von Filtern und schlechten Filtern (insbesondere Filter mit Einheitsverstärkung, die sich einem Frequenzgang der Sinc-Funktion nähern, wenn N zunimmt).

$N$$N$

Fensterung ist Multiplikation im Zeitbereich. Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht der Faltung im Frequenzbereich. Die Nebenkeulen, die Sie sehen, sind das Ergebnis der Faltung der Fourier-Transformation der Fensterfunktion mit der einzelnen Spektrallinie, die die Fourier-Transformation der Sinuskurve wäre.

Die Basisvektoren einer DFT sind alle genau ganzzahlig periodisch innerhalb der DFT-Aperturbreite. Wenn Ihr Signal innerhalb Ihrer festen Länge nicht genau ganzzahlig periodisch ist, kann es nicht genau und vollständig durch eine einzelne Frequenz von DFT-Basisvektoren dargestellt werden. Wenn Ihr Signal einer Sinuskurve ähnelt, wird es häufig meistens durch ein einzelnes DFT-Ergebnisfrequenzfach dargestellt (plus ein komplexes konjugiertes Spiegelbild für eine rein reale Eingabe) - Matching-Energie muss irgendwo dargestellt werden, damit das DFT-Ergebnis das Signal vollständig darstellt. Die übrig gebliebene Energie fließt in die Nebenkeulen.

Wenn Sie die am besten passende, aber genau ganzzahlige periodische Sinuskurve von Ihrem Signal subtrahieren, ist der Unterschied (könnte wie ein dünnes verdrehtes Dreieck oder eine Fliege aussehen, versuchen Sie es) durch die Nebenkeulen dargestellt oder zerlegt.

Die Form der Nebenkeulen ist ein Sinc (oder genauer gesagt ein periodischer Sinc- oder Dirichlet-Kernel), da dies die Transformation des rechteckigen Fensters ist, das Sie bei einem Signal endlicher Länge erhalten.

Ich bringe mir sehr langsam DSP bei und habe ähnliche Fragen durchdacht. Ich hoffe, eine sehr einfache Erklärung, die für Sie nützlich sein wird, ist:

Jeder FFT-Bin repräsentiert genau eine bestimmte Frequenz. Um eine Frequenz darzustellen, die nicht der exakten Frequenz eines Behälters entspricht, muss sie zwischen zwei Behältern liegen, dh sie wird über zwei Behälter verschmiert.

Wenn Sie darüber nachdenken, dass eine FFT nur auf einen Teil des Signals angewendet werden kann, gibt es normalerweise eine Diskontinuität an jedem Ende des Teils des Signals, auf den Sie die FFT anwenden. Dies ist einfacher zu erklären, aber ich denke, Sie könnten sich vorstellen, dass die Mathematik gezwungen ist, eine Tonne zusätzlicher Sinuswellen einzuführen, um die Diskontinuität zu modellieren, und Sie mehr Behälter verschmutzen (dies beantwortet die Frage, das nächste Stück über Fenster ist eine Seite ), um dies zu mildern, wird ein Fenster verwendet, um die Diskontinuität an jedem Ende auszugleichen, jedoch an der Stelle, an der das Signal geändert wird.

Wenn ich Frequenz sage, meine ich Sinuswelle einer bestimmten Frequenz. Die Fourier-Analyse geht also davon aus, dass Sie Ihr Signal als Summe von Sinuswellen betrachten.