Z-Transformation eines Downsamplers

In diesem Artikel oder der Multiraten-Filterung stellt der Autor die folgende mathematische Beziehung her. Sei $y_D$ der Ausgang eines Downsamplers, so dass

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

wobei $M$ der Downsampling-Faktor ist. Mit anderen Worten, wir behalten jedes $M$ te Sample des ursprünglichen Signals. Der Autor führt dann Folgendes aus:

... die z-Transformation von $y_D[n]$ ist gegeben durch

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
wobei $W^k$ der IS $M$ -Punkt diskreten Fourier - Transformation kernel, nämlich $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Wie können wir vom ersteren zum letzteren Ausdruck übergehen? Welche Beziehung zwischen DFT und der Z-Transformation ermöglicht einen solchen Übergang?

dft downsampling z-transform

— Phonon
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Antworten:

Diese Herleitung ist schwierig. Der zuvor vorgeschlagene Ansatz weist einen Fehler auf. Lassen Sie mich dies zuerst demonstrieren. dann werde ich die richtige lösung geben.

Wir möchten die Transformation des abgetasteten Signals mit der Transformation des ursprünglichen Signals in Beziehung setzen . $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Der falsche Weg

Man könnte sich vorstellen, einfach den Ausdruck für das abgetastete Signal in den Ausdruck der Transformation einzufügen: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Eine Änderung der Variablen erscheint offensichtlich: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Allerdings ist es wichtig, dass , obwohl der neue Summenindex zu erkennen , noch von läuft bis , ist die Summe nun über 1 von M ganzen Zahlen . Mit anderen Worten, $n'$ $-\infty$ $\infty$

, $n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$

während die Definition der Transformation erfordert $\mathcal{Z}$

. $n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Da dies keine Transformation mehr ist, können wir nicht schreiben: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Der richtige Weg

Definieren wir zunächst ein "Helfer" -Impulszugsignal als: $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Diese Funktion ist zu 1 von allen Abtastwerten und überall sonst Null. $1$ $M$

Entsprechend kann die Impulsfolgefunktion wie folgt geschrieben werden:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Beweis: Wir müssen die Fälle und : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

Im Fallhaben wir den Ausdruck fürdie endliche Summe einer geometrischen Reihe verwendet.

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$

Kehren wir nun zu unserem ursprünglichen Problem zurück, die Transformation eines Downsamplers zu finden: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Wir wenden die Substitution , wobei wir berücksichtigen, dass die Summation nur über ganzzahlige Vielfache von M läuft: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Wir können nun die obige Impulsfolgefunktion verwenden, um dies sicher als Summation über alle umzuschreiben : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Unter Verwendung der obigen Formulierung für die Impulsfolgefunktion als endliche Summe von Exponentialen erhalten wir:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

Die Summation auf dem rechten Seite ist eine Summation über alle ganzen Zahlen sind , und ist daher ein gültiger -Transform in Bezug auf . Deshalb können wir schreiben: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Dies ist die Formel für die Transformation eines Downsamplers. $\mathcal{Z}$

— user9037
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Sehr schön. Beim Lesen meiner vorherigen Antwort ist mir auch der gleiche Fehler aufgefallen, den Sie gemacht haben.

— Jason R

Ich habe diese Notation noch nie gesehen. Es scheint jedoch Sinn zu machen. Der Downsampler ist definiert durch die Gleichung: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

Seine Transformation wird durch die folgende Gleichung definiert: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

Wende eine Änderung der Variablen an und lasse . Die Bereiche der Summation bleiben von der Änderung der Variablen unberührt, da sie sich bis ins Unendliche erstrecken. $n' = Mn$

Y_{D} (z) = \sum_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

Dies ähnelt der Transformation von selbst. Denken Sie daran, dass es definiert ist als: $z$ $x[n]$

X (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

Durch Betrachtung können wir daher die folgende Beziehung zwischen den Transformationen von und : $z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{D} (z) = X (z^{1 / M})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

Daher hängt die Transformation des Downsampler-Ausgangs eng mit der zu erwartenden Transformation des Eingangssignals zusammen. Im Frequenzbereich führt dies zu einer fachen Streckung des Frequenzinhalts des Signals. $z$ $z$ $M$

Aber wie gehen Sie von der obigen Gleichung zu derjenigen über, auf die Sie in der Veröffentlichung verwiesen haben? Es gibt eine Definition von in Form von , während der von uns abgeleitete Ausdruck eine Funktion von . Für einen bestimmten Wert von , bei dem Sie auswerten möchten, würden Sie also zuerst berechnen (dh die te Wurzel von ) und diese dann durch ersetzen . Jedoch, $Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ alle von Null verschiedenen haben verschiedene te Wurzeln $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$ :

{r_{p}, r_{p} e^{\frac{j 2 π}{M}}, r_{p} e^{\frac{j 2 π 2}{M}}, \dots, r_{p} e^{\frac{j 2 π (M - 1)}{M}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {r_{p}, r_{p} W, r_{p} W^{2}, \dots, r_{p} W^{M - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

wobei der DFT-Kernelwert auf den in Ihrer Frage verwiesen wird, und ist, was ich als die hauptsächliche te Wurzel des komplexen Werts : $W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

r_{p} = \sqrt[M]{| z |} e^{\frac{j ∠ z}{M}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

Das heißt, dass ‚s Haupt -ten Wurzel durch Umwandlung erhalten in der polaren Form, die Einnahme -ten Wurzel ‘ s Magnitude (die eine reelle Zahl ist), und durch Dividieren ‚s Winkel durch . Die resultierenden Werte drücken in polarer Form aus. $z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$

Warum all diese Schwierigkeiten machen? Weil, wie ich zuvor bemerkt habe, die Abbildung von der Domäne von auf die Domäne von nicht eins zu eins ist. Ich fange jetzt mit dem Handwinken an. Für jeden bestimmten Wert von , für den Sie auswerten möchten , gibt es entsprechende Punkte in , denen Sie zuordnen können. Daher zeigt jeder dieser Punkte in $Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ tragen zum entsprechenden Wert von. Sie erhalten dann eine Summe wie in der Zeitung: $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

wobei sich auf die vorher gezeigte Haupt- te-Wurzel-Berechnung bezieht . In Wirklichkeit könnten Sie einen Pick ‚s - ten Wurzeln als Haupt ein; Ich habe diese Definition gewählt, weil sie am einfachsten ist. Wenn Sie diese Beziehung richtig und konsequent herleiten würden, dann glaube ich, dass der Faktor $r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ kommt wegen einer Ableitung vonherein. $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

Im mathematischen Sprachgebrauch würde dies meiner Meinung nach als Zusammensetzung von Funktionen bezeichnet; , wobei und . Um die Funktionszusammensetzung zu entrollen und als Funktion von schreiben , würden Sie die Domäne von $Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ In Stücke, die eins zu eins sind, invertieren Sie die Funktion über diese Intervalle und summieren Sie dann die Ergebnisse mit geeigneten Skalierungsfaktoren. Ich habe diese Technik zuvor verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer Funktion einer Zufallsvariablen anhand des PDFs der ursprünglichen Zufallsvariablen zu berechnen (z. B. um das PDF von abzuleiten $Y_D(z)$ gegebenespdf), aber der Name der Technik entgeht mir. $\sqrt{X}$ $X$

— Jason R
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Sehr nette Antwort.

— Spacey

Vielen Dank. Jeder lizenzierte Mathematiker würde bei meinem Versuch, eine Beschreibung zu erstellen, zurückschrecken (ich bin offensichtlich ein Ingenieur). Ich denke nicht, dass es sehr klar ist, aber vielleicht kann jemand anderes eine sauberere Erklärung vorschlagen, oder ich werde mir eine bessere Möglichkeit überlegen, es zu sagen.

— Jason R

Ich verstehe die erste Hälfte, aber gegen Ende wird es für mich unklar.

— Spacey

Ich sollte die zweite Hälfte umschreiben, wenn ich die Chance dazu habe. Es ist wirklich nur eine Standardtechnik zum Ableiten eines Ausdrucks für die Zusammensetzung von zwei Funktionen. Ich muss mich an die Details erinnern, wie es geht.

— Jason R