Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass viele Autoren die Begriffe Null-Eingabe-Antwort und natürliche Antwort als Synonyme verwenden. Diese Konvention wird im entsprechenden Wikipedia-Artikel und beispielsweise auch in diesem Buch verwendet . Selbst Proakis und Manolakis sind sich darüber nicht ganz klar. In dem von Ihnen zitierten Buch finden Sie den folgenden Satz auf Seite 97:
[...] Der Ausgang des Systems mit Null-Eingang wird als Null-Eingang-Antwort oder natürliche Antwort bezeichnet .
Dies legt nahe, dass die beiden Begriffe austauschbar verwendet werden können. Weiter unten auf der Seite finden wir den folgenden Satz:
Somit ist die Null-Eingangsantwort ein Merkmal des Systems selbst und wird auch als natürliche oder freie Antwort des Systems bezeichnet.
Dies deutet erneut stark darauf hin, dass die Autoren der Ansicht sind, dass beide Begriffe gleichwertig sind.
Auf den von Ihnen erwähnten Seiten scheinen sie jedoch einen Unterschied zwischen den beiden zu machen. Und der Unterschied ist wie folgt. Die Null-Eingangsantwort ist die Antwort, die durch Anfangsbedingungen ungleich Null verursacht wird. Dies hängt nur von den Systemeigenschaften und den Werten der Anfangsbedingungen ab. Die Null-Eingangsantwort wird Null, wenn die Anfangsbedingungen Null sind.
Die natürliche Antwort ist der Teil der Gesamtantwort, dessen Form nur durch die Pole des Systems bestimmt wird und der nicht von den Polen des (Transformation des) Eingangssignals abhängt. Die natürliche Reaktion hängt in Bezug auf Konstanten vom Eingangssignal ab, aber seine Form wird vollständig von den Polen des Systems bestimmt. Im Gegensatz zur Null-Eingangsantwort verschwindet die natürliche Antwort bei Null-Anfangsbedingungen nicht.
Die Gesamtantwort des Systems kann wie folgt geschrieben werden:
- Null-Eingangsantwort + Null-Zustandsantwort
- natürliche Reaktion + erzwungene Reaktion
Die Nullzustandsantwort ist die Antwort für Nullanfangsbedingungen, und die erzwungene Antwort ist der Teil der Antwort, dessen Form durch die Form des Eingangssignals bestimmt wird.
Ich hoffe, dass dies im folgenden Beispiel deutlich wird. Untersuchen wir das folgende System:
y[n]+ay[n−1]=bnu[n],y[−1]=c(1)
Dabei ist die Einheitsschrittfolge. Die Gesamtantwort kann mit -Transformationstechniken berechnet werden :u[n]Z
y[n]=[1a+bbn+1+(c−1a+b)(−a)n+1]u[n](2)
Die Null-Eingangsantwort ist der Teil der Gesamtantwort, der durch die Anfangsbedingung bestimmt wird und der nicht von abhängt :b
yZI[n]=c(−a)n+1u[n](3)
Offensichtlich ist für , dh für eine Anfangsbedingung von Null.yZI[n]=0c=y[−1]=0
Die natürliche Reaktion ist der Teil der Gesamtreaktion, dessen Form durch den Pol des Systems bestimmt wird:
yN[n]=(c−1a+b)(−a)n+1u[n](4)
Beachten Sie, dass dies sowohl von den Anfangsbedingungen als auch vom Eingangssignal abhängt (über die Konstante ).b
Beachten Sie auch, dass die Form der Nullzustandsantwort sowohl von den Polen des Systems als auch von den Polen der Eingangssignaltransformation abhängt. Alle anderen hier erwähnten Antworten hängen nur von einem der beiden Polsätze ab. Die Formen der Null-Eingangsantwort und der natürlichen Antwort hängen nur von den Polen des Systems ab, während die Form der erzwungenen Antwort durch die Pole des Eingangssignals bestimmt wird. Der Ausdruck füry[n]In Ihrer Frage von Proakis und Manolakis wird die Nullzustandsantwort zitiert (weil das System anfänglich in Ruhe ist), und die erste Summe ist die erzwungene Antwort, und die zweite Summe ist die natürliche Antwort. Da die Null-Eingangsantwort in diesem Fall Null ist, entspricht die Summe aus natürlicher Antwort und erzwungener Antwort (dh der Gesamtantwort) der Nullzustandsantwort
In mathematischen Begriffen ist die natürliche Antwort die homogene Lösung der Differenzgleichung, wobei die Konstanten so bestimmt werden, dass die Summe der jeweiligen Lösung (der erzwungenen Antwort) und der homogenen Lösung die gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Klar, die Null-Eingangsantwortist auch eine Lösung für die homogene Gleichung, aber der Unterschied zur natürlichen Antwort besteht darin, dass die Null-Eingangsantwort allein die Anfangsbedingungen erfüllt, da sie mit der Nullzustandsantwort kombiniert wird, die Null-Anfangsbedingungen annimmt. Andererseits erfüllt die natürliche Reaktion allein nicht die Anfangsbedingungen. Die Anfangsbedingungen werden nur erfüllt, indem die natürliche Antwort mit der bestimmten Lösung der Differenzgleichung kombiniert wird (letztere ist die erzwungene Antwort ).
Wie oben erwähnt, können wir die Gesamtlösung als schreiben
y[n]=yZI[n]+yZS[n]
(Null-Eingangsantwort plus Null-Zustandsantwort)
und wie
y[n]=yN[n]+yF[n]
(natürliche Reaktion plus erzwungene Reaktion). Für das gegebene Beispiel haben wir
yZI[−1]=y[−1]
dh es ist , das sich um den Anfangszustand kümmert. Das ist auch der Grund, warum wenn die Anfangsbedingung Null ist. muss die homogene Gleichung erfüllenyZI[n]yZI[n]=0yZI[n]
yZI[n]+ayZI[n−1]=0,yZI[−1]=y[−1]
Wenn also , ist für alle . Die natürliche Antwort erfüllt auch die homogene Gleichung, jedoch nicht mit der Anfangsbedingung . Was erfüllt ist, isty[−1]=0yZI[n]=0nyN[−1]=y[−1]yN[−1]+yF[−1]=y[−1]. Aus diesem Grund ist die natürliche Reaktion im Allgemeinen ungleich Null, selbst unter Anfangsbedingungen von Null. Und die natürliche Antwort ist die homogene Lösung, die wir mit der speziellen Lösung (erzwungene Antwort) kombinieren müssen, die auf die übliche Weise gefunden wird. Wir haben normalerweise keine direkten Mittel, um die spezifische Lösung zu finden, die in Kombination mit der speziellen homogenen Lösung, die durch die Null-Eingangsantwort dargestellt wird, die vollständige Lösung der Differenzgleichung ergibt. Dafür brauchen wir eine andere homogene Lösung, und dies ist die natürliche Antwort.
Die erneute Verwendung des obigen Beispiels wird dies hoffentlich klarstellen. Für ein exponentielles Forcierungssignal besteht die Standardmethode (und die einfachste Methode), um eine bestimmte Lösung zu erhalten, darin, eine skalierte Version der Forcierungsfunktion auszuwählen:
yp[n]=Abn(A1)
(Der Einfachheit halber lasse ich den Einheitsschritt weg , vorausgesetzt, wir betrachten , es sei denn, wir sprechen über die Anfangsbedingung). Die Konstante wird durch Einstecken von in die Differenzgleichung bestimmt:u[n]n≥0A(A1)
Abn+aAbn−1=bn
Geben Sie . Die allgemeine Form der homogenen Lösung istA=ba+b
yh[n]=B(−a)n(A2)
Natürlich ist (dh ) eine spezifische Lösung, aber das ist nicht die, nach der wir suchen. Wir müssen die Konstante so bestimmen , dass die Summe der jeweiligen und der homogenen Lösung die Ausgangsbedingung erfüllt:yh[n]=0B=0B
y[−1]=yp[−1]+yh[−1]=Ab−Ba
Aus dieser Gleichung erhalten wir
B=aa+b−ay[−1]
Dies zeigt, dass die homogene Lösung, die wir benötigen, ungleich Null ist, wenn . und die auf diese Weise gefunden wurden, sind identisch mit der erzwungenen Antwort bzw. der natürlichen Antwort, wie in und - implizit - in .y[−1]=0yp[n]yh[n](4)(2)