Warum zeigen lineare Systeme sinusförmige Wiedergabetreue?

9

Ich suche einen Beweis für sinusförmige Wiedergabetreue. In DSP lernen wir viel über lineare Systeme. Lineare Systeme sind homogen und additiv. Eine weitere Bedingung, die erfüllt wird, ist, dass wenn ein Signal eine Sinus- oder Cosinuswelle ist, der Ausgang nur die Phase oder Amplitude ändert. Warum? Warum kann der Ausgang kein völlig anderer Ausgang sein, wenn eine Sinuswelle als Eingang angegeben wird?

— Hobyist
quelle

1

Willkommen bei DSP. Gute Frage!

— Phonon

5

Ihr Verständnis ist unvollständig. Ein lineares (dh homogenes und additives) System hat nicht unbedingt die Eigenschaft, dass eine Eingangs-Sinuskurve eine Sinuskurve mit derselben Frequenz, aber möglicherweise unterschiedlicher Amplitude und Phase erzeugt. Sie müssen die weitere Einschränkung auferlegen, dass das System auch zeitinvariant ist. Wenn beispielsweise die Eingabe

x (t)

$x(t)$ die Ausgabe

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$ , ist das System homogen und additiv und daher linear, erfüllt jedoch nicht die SISO-Eigenschaft (sinusförmig in sinusförmig aus).

— Dilip Sarwate

Dilip (oder jemand) sollte als Antwort sagen: "Sie tun es nicht." Nur zeitinvariante lineare Systeme tun dies.

— hotpaw2

2

Nur als Anmerkung wäre eine andere Möglichkeit, diese Frage zu formulieren : "Warum sind Exponentialeigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme?"

— Jason R

8

Eine etwas visuelle Ergänzung zu den anderen Antworten

Sie sprechen von Systemen, die linear und zeitinvariant sind.

Exponentialfunktionen haben eine besondere Eigenschaft (und können tatsächlich dadurch definiert werden): Eine Zeitübersetzung führt zu derselben Funktion multipliziert mit einer Konstanten. So

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

Mathematica-Grafiken

Das rote Exponential könnte auch das blaue sein, das durch geteilt wird, oder 1 Sekunde nach rechts verschoben werden $e$

Dies gilt im Allgemeinen auch für komplexe Exponentiale

Können Sie sich die Darstellung einer komplexen Harmonischen wie ? Wenn ja, werden Sie sehen, dass es wie eine Feder ist: Sie dreht sich im Laufe der Zeit entlang der komplexen Ebene. $x(t)=e^{j2\pi t}$

Mathematica-Grafiken

Das Drehen dieser Feder (Multiplizieren mit einer komplexen Zahl im Einheitskreis) entspricht dem Übersetzen. Sie sind wahrscheinlich irgendwann in Ihrem Leben auf diesen visuellen Effekt gestoßen

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Es ist auch das Prinzip jeder Standardschraube.

Angenommen, wir geben dies in einem linearen zeitinvarianten System ein. Sie erhalten eine Ausgabe Geben Sie nun eine gedrehte Version dieser Feder ein. Wegen der Linearität, sollte die Ausgabe sein um den gleichen Betrag gedreht. Aber da eine Rotation zu einer zeit Übersetzung äquivalent ist, und das System ist zeitinvariant, der Ausgang hat sich auch als um den gleichen Betrag zeitumgerechnet. So, hat die gleiche Eigenschaft wie das Eingang zu erfüllen: Drehen zu einer bestimmten Zeit Übersetzung äquivalent sein muss. Dies geschieht nur, wenn der Ausgang ein Vielfaches der ursprünglichen Feder ist. $y$ $y$ $y$ $y$

Wie viel Übersetzung? Nun, es ist direkt proportional zur Drehung, genau wie es bei einer Feder passieren würde. Je enger die Schlaufen der Feder sind (je schneller sie sich dreht), desto weniger Zeit wird für eine bestimmte Drehung benötigt. Je enger die Schlaufen einer Schraube sind, desto mehr Runden müssen Sie machen, damit sie vollständig passt. Und wenn die Hälfte der Runden fertig ist, ist die Schraube zur Hälfte in ... Der Ausgang muss die gleiche Beziehung erfüllen, damit sich die Ausgangsfeder mit der gleichen Frequenz wie der Eingang dreht. $y$

Endlich eine Erinnerung

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

\sin (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

Das, was mit Exponentialen passiert, muss im allgemeinsten Fall nicht mit Cosinus und Sinus passieren. Aber wenn das System auch real ist, ist es eine andere Geschichte ...

Nach dieser Überlegung ist jedes Exponential im Allgemeinen eine "Eigenfunktion" (Ausgabe ist proportional zur Eingabe) linearer zeitinvarianter Systeme. Deshalb sind für diese Systeme Z-Transformationen und Laplace-Transformationen so nützlich

— Rojo
quelle

Wie / Woher hast du diese Animation?

— Spacey

@ Mohammed nahm es von der Wikipedia-Seite auf Archimedes Schraube

— Rojo

Woher hast du das Korkenzieher-Grundstück? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— Endolith

@endolith oh ich habe es gerade in Mathematica gemacht. Ihre sind schöner;)

— Rojo

4

Betrachten Sie ein System mit Eingabe und Ausgabe . In Anlehnung an Lars1s Antwort bezeichnen wir diese Beziehung . Das System wird als lineares zeitinvariantes (LTI) System bezeichnet, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt: $x(t)$ $y(t)$ $x(t) \to y(t)$

H. Wenn , dann ist . $x(t) \to y(t)$ $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A. Wenn und , dann $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Wenn , dann ist für jede reelle Zahl . $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

Die Eigenschaften H und A zusammen entsprechen der Eigenschaft L.

L. Wenn und , dann ist . $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

Die periodische Eingabe in ein zeitinvariantes System erzeugt eine periodische Ausgabe.
Angenommen, ist ein periodisches Signal mit der Periode , dh für alle ganzen Zahlen . Dann folgt aus der Eigenschaft T sofort, dass auch ein periodisches Signal mit der Periode . Wir können also als Fourier-Reihe ausdrücken : $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

wobeidie Grundfrequenz ist.

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

Da und sind periodische Signale, haben wir , dass für jedes zeitinvarianten Systems, sei es linear oder nicht, $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$ InTat, fürlinearezeitinvariante (LTI) -Systeme,alldieundNull sindaußer für

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

. Um zu sehen, warum dies so ist, lassen Sie uns die Antwort des LTI-Systems auf

auf zwei verschiedene Artenberechnenund die Ergebnisse vergleichen.

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$

Da , so erhalten wir aus der Immobilie L und die obigen Gleichungen , dass $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$

θ

$\theta$

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

SISO-Eigenschaft linearer zeitinvarianter Systeme: Wenn der Eingang eines LTI-Systems sinusförmig ist, ist der Ausgang ein Sinus mit derselben Frequenz, aber möglicherweise unterschiedlicher Amplitude und Phase.

Dies ist nicht ganz das Ergebnis, das das OP wollte - er wollte einen Beweis dafür, dass ein lineares System (eines, in dem die Eigenschaften H und A (äquivalent Eigenschaft L ) gelten, aber nicht unbedingt die Eigenschaft T ) die SISO-Eigenschaft hat, sondern als Entwicklung Wie oben gezeigt, muss Eigenschaft T gelten, um auch das schwächere Ergebnis zu beweisen, dass periodische Eingaben zu periodischen Ausgaben führen.

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Dilip Sarwate
quelle

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t) \to A_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \A_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

3

Hier ist die Idee des Beweises. Nehmen wir an, wir können die Ausgabe eines Systems durch eine Faltung beschreiben.

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{i ω τ} d τ = \int k (τ) e^{i ω (t - τ)} d τ = e^{i ω t} \int k (τ) e^{- i ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

$t$ $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

So haben wir das entdeckt

y (t) = K (ω) e^{i ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

$y(t)$ $K(\omega)$ $t$

$s$

Nehmen Sie nun die Laplace-Transformation, um zu enden (da die Laplace-Transformation die Faltung zur Multiplikation führt),

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

$f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

$K(\omega)$ $y(t)$

Übrigens ist mir gerade aufgefallen, dass Sie die gleiche Idee im Zeitbereich bei Wikipedia finden . Eine übergeordnete Erklärung (die Sie ignorieren können, wenn sie zu mathematisch ist) ist, dass die lineare Systemtheorie durch die Faltungsoperation definiert wird, die durch die Fourier-Transformation diagonalisiert wird. Somit gibt ein System, dessen Eingabe ein Eigenvektor des Fourier-Transformationsoperators ist, nur eine skalierte Version seiner Eingabe aus.

— ja
quelle

s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

@ DilipSarwate Ich vermute, er verwendet die Laplace-Transformationsnotation anstelle der Fourier-Notation.

— Jim Clay

@sydeulissie Das Problem ist, dass Sie behaupten, K (w) sei "nur eine komplexe Zahl", aber Sie haben nicht gesagt, warum es bei jeder Frequenz nur eine komplexe Zahl ist. Das ist das Herzstück des Beweises.

— Jim Clay

3

Dies hat einen korrekten Umriss, aber viele Probleme im Detail. Kein Downvoting, aber es sollte behoben werden.

— Phonon

1

$x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = a \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$a$ $b$

Aus der Definition der Linearität und der weiteren Notwendigkeit eines zeitinvarianten Systems können wir direkt erkennen, dass zwei (oder mehr Signale) nicht interferieren und neue Frequenzkomponenten erzeugen können, während die Linearitätsanforderungen weiterhin erfüllt werden. Das Prinzip der Überlagerung folgt auch direkt aus der Linearitätsdefinition.

Auch aus der Linearitätsdefinition folgt das Konzept der Faltung für lineare zeitinvariante Systeme. Für nichtlineare Systeme haben wir zum Beispiel die Volterra-Reihe, die ein mehrdimensionales Faltungsintegral ist - das eindimensionale Faltungsintegral ist ein Sonderfall der Volterra-Reihe. Dies ist jedoch viel komplizierter als lineare Techniken. Basierend auf dem Faltungsintegral für ein lineares System folgt die Ableitung jedoch der von @sydeulissie gezeigten.

${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = a^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot a \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

oder:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ${\cal G}$

y (t) = x^{2} (t) = A^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{A^{2}}{2} + \frac{A^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

$2f_0$ $x^2$

Zusammenfassend kann beobachtet werden, dass ein lineares System Frequenzkomponenten erzeugen kann, die nicht in der Eingabe vorhanden sind (wenn das System eine Zeitvariante ist). Wenn das System linear zeitinvariant ist, kann der Ausgang keine Frequenzkomponenten enthalten, die nicht im Eingang vorhanden sind.

Vielen Dank an @Sarwate für den relevantesten Kommentar.

— Lars1
quelle

\cos (t)

$\cos(t)$

@ DilipSarwate Ist das also so, dass nur LTI-Systeme diese Eigenschaft haben?

— Phonon

Ich habe gerade ein paar Bücher überprüft, um auf der sicheren Seite zu sein. Tatsächlich scheint es einen Unterschied in den Details zu geben. Eine Definition in Yang und Lees Buch über Schaltungssysteme aus dem Jahr 2007 lautet: "Ein System gilt als linear, wenn das Überlagerungsprinzip gilt, dh seine Ausgabe an eine lineare Kombination mehrerer beliebiger Eingaben ist dieselbe wie die lineare Kombination der Ausgaben an einzelne Eingänge ". In dieser Hinsicht ist Sarwates Beispiel linear - aber nicht zeitinvariant. Andere Refs sind jedoch weniger genau. Vielen Dank an @Sarwate.

— Lars1

1

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$

x (t)

$x(t)$

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$

(a x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = a \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$

@Sarwate Wie variiert das System, das die Ausgabezeit x (t) cos (t) erzeugt? Ich bin ein Anfänger in DSPs

— Hobyist

1

Wie Dilip Sarwate hervorhob, haben nur lineare verschiebungsinvariante (LSIV) Systeme die SISO-Eigenschaft (sinusoid in sinusoid out).

$e^{\jmath \omega t}$

— Chaohuang
quelle