Beziehung zwischen Bandbreite und Wellenlänge eines Trägers

Dies kam von einer Hausaufgabenfrage, die ich gelöst habe. Ich brauche nur eine Klarstellung.

Ich werde gebeten, die Bandbreite in einem bestimmten Spektrum bei einer bestimmten Wellenlänge zu bestimmen. Um dies zu finden, weiß ich das;

$$\delta_f = \frac{c\cdot \delta_\lambda}{\lambda^2}$$

Dabei ist die Bandbreite, die Menge des Spektrums, die gegebene Trägerwellenlänge und die Lichtgeschwindigkeit.$\delta_f$$\delta_\lambda$$\lambda$$c$

Das ist alles schön und gut, aber ich kann keinen Grund finden, warum diese Formel funktioniert oder woher sie kommt. Woher kommt diese Formel oder wie heißt sie oder wie wird sie abgeleitet?

Die Frage lautet wie folgt;

Wie viel Bandbreite gibt es in Spektrum bei einer Wellenlänge von ?$0.1 \textrm{ micron}$$1 \textrm{ micron}$

Ich werde versuchen, Ihre Formel abzuleiten. Die Formel, die Sie erhalten haben, ist technisch nicht korrekt, aber auf praktischer Ebene. Ich werde versuchen, unten zu erklären.

Die Formel für die Frequenz einer Welle (Schall, Wasser, Licht usw.) lautet , wobei die Wellenlänge und die Geschwindigkeit der Welle ist. Dies ist intuitiv sinnvoll, wenn Sie darüber nachdenken, da Sie umso mehr Spitzen sehen, je schneller sich die Welle bewegt, und je länger die Wellenlänge ist, desto weniger Spitzen sehen Sie. In Ihrem Fall ist die Wellengeschwindigkeit natürlich .$f = \frac{\nu}{\lambda}$$\lambda$$\nu$$c$

Die Bandbreite ist die höchste Frequenz minus der niedrigsten Frequenz.

$$\begin{align} B &= f_h - f_l \\ &= \frac{c}{\lambda_l} - \frac{c}{\lambda_h} \\ &= \frac{c}{\lambda - \frac{\Delta\lambda}{2}} - \frac{c}{\lambda + \frac{\Delta\lambda}{2}} \end{align}$$ An dieser Stelle werde ich aufrufen, um die Eingabe etwas zu vereinfachen " ". Die Formel, die Sie erhalten haben, ist praktisch korrekt, da normalerweise viel kleiner als .$\frac{\Delta\lambda}{2}$$d$ $$\begin{align} B &= \frac{c}{\lambda - d} - \frac{c}{\lambda + d} \\ &= \frac{c(\lambda + d) - c(\lambda - d)}{(\lambda - d)(\lambda + d)} \\ &= \frac{2cd}{\lambda^2 - d^2} \\ &= \frac{c\Delta\lambda}{\lambda^2 - \frac{\Delta\lambda^2}{4}} \end{align}$$ $\Delta\lambda$$\lambda$$\Delta\lambda$ist 1/10 von , was tatsächlich viel größer ist als jede normale Situation. Normalerweise ist um Größenordnungen kleiner als . Auch bei 1/10, aber ist , das ist zu vernachlässigen. Somit wird es fallen gelassen.$\lambda$$\Delta\lambda$$\lambda$$\frac{\Delta\lambda^2}{4}$$\frac{\lambda^2}{400}$

Ich hoffe das hilft.

Die Formel, die Sie erhalten haben, leitet sich aus folgenden ab:

f = c / lambda .... ich werde lambda = l nennen

Die Ableitung von f in Bezug auf l:

df / dl = -c / l ^ 2

Impliziert, dass df = -c * dl / l ^ 2 Das Minuszeichen kann weggelassen werden, da wir nur an der Absolutwertfrequenz der Frequenzänderung interessiert sind.