Statistische Eigenschaften der Kalman-Schätzungen unter Gaußschem Rauschen

Haben Kalman-Schätzungen für ein lineares Zustandsraummodell mit unabhängigem Gaußschen Zustand und Ausgangsrauschen und perfekter Schätzung für den Anfangszustand die folgenden Eigenschaften: wo

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ ist der Zustand zum Zeitpunkt , der zufällig ist $k$
$\hat{x}_{k|k}$ und sind Kalman-Esitmates, dh Ausgaben des Kalman-Filters. $P_{k|k}$

Gibt es Referenzen, die diese erwähnen?

Vielen Dank!

kalman-filters

— Tim
quelle

Ist die a posteriori geschätzte Kovarianzmatrix zum Zeitpunkt ? Es wird nicht wirklich eine Standardnotation verwendet, daher ist nicht ganz klar, was Sie unter "Kalman-Schätzungen" verstehen.

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@ Jason: Ja, es ist ...

— Tim

Antworten:

Die folgenden zwei Aussagen entsprechen dem Sprichwort:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) dass der Schätzer unvoreingenommen ist ; und

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Dass der Schätzer konsistent ist .

Diese beiden Bedingungen sind erforderlich, damit der Filter optimal ist - dh die bestmögliche Schätzung von in Bezug auf einige Kriterien. $\mathbf{x}_{k|k}$

Wenn (1) nicht wahr ist, wäre der mittlere quadratische Fehler (MSE) die Vorspannung plus die Varianz (im skalaren Fall). Klar, dies ist nur größer als die Varianz und daher suboptimal.

Wenn (2) nicht wahr ist (dh die vom Filter berechnete Kovarianz unterscheidet sich von der wahren Kovarianz), ist der Filter ebenfalls suboptimal. Da die Kalman-Verstärkung auf der berechneten Zustandskovarianz basiert, führt ein Fehler in der Kovarianz zu einem Fehler in der Verstärkung. Ein Fehler in der Verstärkung bedeutet eine suboptimale Gewichtung der Messungen.

(Beide Bedingungen gelten für einen ordnungsgemäß modellierten Filter. Durch Fehler bei der Modellierung, z. B. das dynamische Modell oder Rauschkovarianzen, wird der Filter ebenfalls suboptimal.)

Quelle: Bar-Shalom , insbesondere Abschnitt 5.4 auf Seite 232-233.

— Damien
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Es ist wichtig zu beachten, dass KEINE Zufallsvariable ist. Es ist der deterministische Systemzustand, der im Allgemeinen in variabel ist . was dem Sprichwort $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Auch

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

Und,

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ das, da deterministisch ist, zufällig auch gleich

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Hintergrund

$x_k$ ist der deterministische Systemzustand. Dies steht im Gegensatz zu dem Systemrauschen, das in der meisten Literatur als mit Varianz . Darüber hinaus modelliert einige Literatur das Systemrauschen mit einer Koeffizientenmatrix; In diesem Fall wird die Matrix in der Ausbreitungsschätzung durch ersetzt , wobei die Rauschkoeffizientenmatrix ist. Zur Erläuterung ist die Systemdarstellung in diesem Fall gegeben durch: $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Als Referenz: Kalmans Papier selbst:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
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Soweit ich weiß, ist ein zufälliger Prozess. Die Varianz von ist durch das Prozessrauschen gegeben. Für eine gegebene Realisierung ist deterministisch.

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Royi

@Drazick Das Prozessrauschen erhält normalerweise das Symbol w mit der Varianz Q. xk ist der Systemzustand, es würde keinen Sinn machen, dass die Zustände zufällig sind; Die Schätzung auf der anderen Seite, eine Zufallsvariable, ist sinnvoll

— aiao

Ich bin verwirrt: Wie kann deterministisch sein, wenn (das stochastisch ist) hinzugefügt wird, um es zu bilden? Der einzige Weg, wie deterministisch sein kann, ist, wenn die stochastische Komponente Null ist, ja?

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

— Peter K.

@ PeterK. weil bei jedem

w

$w$

k

$k$

— aiao am

Während Kalman selbst den Zustandsvektor nie als stochastische Variable betrachtete (ich glaube, ich kann dies Doucet zuschreiben, aber ich könnte mich irren), kann der Kalman-Filter aus der Bayes-Regel abgeleitet werden. In diesem Fall ist der Zustandsvektor . Siehe Wikipedia .

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$

— Damien