Hilmars Antwort ist natürlich vollkommen richtig, aber ich denke, es gibt einige Punkte, die Lyon in der vom OP zitierten Erklärung nicht angesprochen hat (oder vielleicht hat er zuvor darüber gesprochen und sich entschieden, sich in dem vom OP zitierten Absatz nicht zu wiederholen). .
Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) wird üblicherweise als Transformation einer Sequenz endlicher Länge
in eine andere Sequenz der Länge
wobei
Diese Formeln können aber auch verwendet werden, wenn außerhalb des Bereichs
Wenn wir dies tun, kommen wir zu dem Schluss, dass die Länge
DFT als a angesehen werden kann Transformation von a(x[0],x[1],…,x[N−1])N(X[0],X[1],…,X[N−1])N
X[m]x[n]=∑k=0N−1x[k]exp(−j2πmkN), m=0,1,…,N−1,=1N∑m=0N−1X[m]exp(j2πnmN), n=0,1,…,N−1.
m,n[0,N−1]Nperiodische Sequenz
zu einer anderen
periodischen Sequenz , die sich beide in beide Richtungen bis ins Unendliche erstreckt, und die und sind nur
eine Periode dieser unendlich langen Sequenzen. Beachten Sie, dass wir darauf bestehen, dass und für alle und .
x[⋅]X[⋅](x[0],x[1],…,x[N−1])(X[0],X[1],…,X[N−1])x[n+iN]=x[n]X[m+iN]=X[m]m,n,i
So werden Daten in der Praxis natürlich nicht häufig behandelt. Wir haben möglicherweise eine sehr lange Folge von Proben und teilen sie in Blöcke geeigneter Länge . Wir berechnen die DFT von als
die DFT des nächsten Chunks als
die DFT des vorherigen Chunks als
N(x[0],x[1],…,x[N−1])
X(0)[m]=∑k=0N−1x[k]exp(−j2πmkN), m=0,1,…,N−1,
(x[N],x[N+1],…,x[2N−1])X(1)[m]=∑k=0N−1x[k+N]exp(−j2πmkN), m=0,1,…,N−1,
(x[−N],x[−N+1],…,x[−1])N.X(−1)[m]=∑k=0N−1x[k−N]exp(−j2πmkN), m=0,1,…,N−1,
usw. und dann spielen wir mit diesen verschiedenen DFTs der verschiedenen Blöcke, in die wir unsere Daten unterteilt haben. Wenn die Daten tatsächlich periodisch mit der Periode , sind natürlich alle diese DFTs gleich.
N
Wenn Lyons von ... spricht, wo der Eingangsindex n sowohl über positive als auch über negative Werte definiert ist ... spricht er vom periodischen Fall, und wenn er sagt, dass eine (reelle) gerade Funktion die Eigenschaft
, diese Eigenschaft muss für alle ganzen Zahlen . Da auch Periodizität gilt, haben wir nicht nur
sondern auch und in ähnlicher Weise . In anderen Worten, die reale sogar Sequenz , dessen DFT ist eine reale sogar Sequenz (wie von Lyons angegeben und erläuterte sehr schön durch Hilmar) ist notwendigerweisex[n]=x[−n]nx[−1]=x[1]x[−1]=x[−1+N]=x[N−1]x[−n]=x[n]=x[N−n] (x[0],x[1],…,x[N−1])der Form
die (abgesehen von dem führenden ) eine palindromische Sequenz ist. Wenn Sie Ihre Daten in Blöcke der Länge
aufteilen und die DFT jedes Blocks separat berechnen, haben diese separaten DFTs nicht die oben beschriebenen Symmetrieeigenschaften, es sei denn, die DFT besteht aus einem Block mit dieser palindromischen Eigenschaft.x [ 0 ] N.
(x[0],x[1],…,x[N−1])=(x[0],x[1],x[2],x[3],…,x[3],x[2],x[1])
x[0]N