Um die anderen guten Antworten zu ergänzen, fand ich die folgenden Grafiken hilfreich, um ein besseres intuitives Verständnis zu erlangen, insbesondere für die Pole und Nullen der Übertragungsfunktionen.
(UPDATE: Ich bin auch gerade auf diesen ähnlichen Beitrag von @Endolith gestoßen, der sehr gut ist: Wie Pole mit dem Frequenzgang zusammenhängen )
Unten ist die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters mit zwei Polen in der linken Halbebene dargestellt, die durch die Laplace-Transformation der Impulsantwort des Filters gegeben ist. Dies ist ein analoges System, aber äquivalente Darstellungen können für digitale Systeme in der Z-Domäne anstelle der S-Domäne durchgeführt werden.
Das Diagramm auf der linken Seite ist das typische Diagramm, das wir sehen, wenn wir in Pole und Nullen eingeführt werden, die ihre Position in der S-Ebene zeigen, wobei zu beachten ist, dass ein Pol der Wert für s ist, der die Gleichung X (s) ins Unendliche bringt, während eine Null ist der Wert für s, der die Gleichung X (s) auf Null bringt. Ja, dieses spezielle System hat auch zwei Nullen im Unendlichen, da diese Werte für s die Gleichung auf Null setzen.
Auf der rechten Seite befindet sich ein 3D-Diagramm, das die Größe von X (s) für alle Werte von s in der komplexen Ebene zeigt. Interessant ist, dass dies die einzige Darstellung ist, die sich aus einem solchen Verhältnis von Polynomen ergeben würde, so dass wir es einfach anhand der Pol- und Nullstellen vollständig beschrieben haben! Jeder Punkt auf dieser Oberfläche wird in diesem Fall einfach von den beiden angegebenen Polpositionen aus kommuniziert.
![filter example](https://i.stack.imgur.com/SsW7E.png)
Insbesondere interessieren wir uns häufig für den Frequenzgang eines Filters oder Systems. s ist die Eingabe, die auf der komplexen Ebene reale und imaginäre Komponenten haben darf. Insbesondere wenn s a nur einen konstanten Imaginärwert hat, beschreiben wir eine konstante Frequenz. Also eine Scheibe entlang derj ω Die Achse in dem gezeigten 3D-Diagramm aller Größen würde die Größenantwort des Filters zeigen, wie in der oberen rechten Ecke des obigen Diagramms dargestellt (was äquivalent der Größe der Fourier-Transformation der Impulsantwort des Filters ist).
![What is s](https://i.stack.imgur.com/WATLx.png)
Was in der obigen 3D-Grafik nicht gezeigt wird, ist die "Region of Convergence", die alle Werte von s zeigt, bei denen die Laplace-Transformation gegen einen endlichen Wert konvergiert, je nachdem, ob das System kausal oder antikausal ist.