Wie Pole mit dem Frequenzgang zusammenhängen

Ich bin in letzter Zeit in einen Irrtum geraten , wenn man Pol s = 1 betrachtet, da es bei Frequenz 1 eine unendliche Antwort gibt. Die Antwort war jedoch nur 1. Können Sie nun die Frequenzantwort bei gegebenen Polen ableiten?

Zweitens besagt die Theorie, dass ein System stabil ist, wenn sich die Pole in der linken S-Ebene befinden und somit zeitlich abklingen. Aber warte. Bedeutet "Pol" nicht die unendliche Antwort - das Wachstum in der Zeit?

Schließlich ist es richtige Frage in DSP? IMO, D steht für digital, während S-Domain analog ist. Ich finde keine S-Plane- oder Laplace-Transformations-Tags zum Beschriften meines Posts.

update Danke für die Antworten. Es scheint, dass ich es außer dem einen kleinen, aber fundamentalen Ding habe - dem Verhältnis von Polen (und Nullen) zur Frequenz. Warum hängen die Eigenwerte (oder wie nennt man den Operator / die Variable $s$ ) mit der Häufigkeit zusammen? Es sollte irgendwie mit exponentiellem Wachstum und Laplace-Transformation zusammenhängen. Ich verstehe sehr gut, dass Pole Eigenwerte sind (insbesondere für diskrete Wiederholungen). Aber wie hängt das mit der Frequenz zusammen?

— Val
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Es ist "Signalverarbeitungsstapelaustausch", nicht "DSP-Stapelaustausch". :)

— Endolith

Ja, wie bereits erwähnt, ist die analoge Signalverarbeitung ein Thema. DSP.SE war ein zweckmäßiger Name für den ersten Start, aber signals.stackexchange.com verlinkt jetzt auch hier.

— Datageist

Was genau meinen Sie, wenn Sie nach der Beziehung zwischen Polen und Frequenzen fragen?

— Sudarsan

Es ist offensichtlich, wie und warum die Pole den Frequenzgang bestimmen.

— Val

Die Antwort wurde wohl schon gegeben. Der Frequenzgang ist die Magnitude der Systemantwort , wie sie längs der Bewegungs

j ω

$j\omega$ - Achse. Wenn Sie die Systemübertragungsfunktion

H (s)

$H(s)$ in Produkt von

1 / (s - p_{i})

$1/(s-p_{i})$ und

(s - z_{i})

$(s-z_{i})$ zerlegt haben, müssen Sie nur die Größe bei

s = j ω

$s=j\omega$ für die Übertragung ermitteln Die Funktion und dies wird offensichtlich durch die Position der Pole und Nullen bestimmt, da diese diejenigen sind, die in der faktorisierten Systemantwort erscheinen.

— Sudarsan

Antworten:

Ich denke, es gibt tatsächlich 3 Fragen in Ihrer Frage:

F1: Kann ich den Frequenzgang bei gegebenen Polen eines (linearen zeitinvarianten) Systems ableiten?

Ja, bis zu einer Konstanten. Wenn $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ sind die Pole der Übertragungsfunktion können Sie die Übertragungsfunktion schreiben als

\begin{matrix} (1) & H (s) = \frac{k}{(s - s_{\infty, 1}) (s - s_{\infty, 2}) \dots (s - s_{\infty, N})} \end{matrix}

$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$

Man beachte , dass $s$ eine komplexe Variable ist , $s=\sigma+j\omega$ und die Frequenzvariablen $\omega$ entspricht die imaginäre Achse der komplexen $s$ - Ebene. Jetzt müssen wir den Frequenzgang von der Übertragungsfunktion erhalten. Für stabile Systeme kann dies einfach durch Auswertung der Übertragungsfunktion $H(s)$ für $s=j\omega$ . Sie ersetzen also $s$ durch $j\omega$ in (1) und sind fertig. Es ist jedoch zu beachten, dass dies nur für stabile Systeme gilt (dh wenn der Konvergenzbereich von $H(s)$ Umfasst die $j\omega$ -Achse).

F2: Wie kann ein stabiles System Stangen haben?

Wie Sie bereits wissen, müssen bei kausalen und stabilen Systemen alle Pole in der linken Halbebene der komplexen $s$ -Ebene liegen. In der Tat wird der Wert der Übertragungsfunktion $H(s)$ bei einem Pol $s=s_{\infty}$ unendlich , aber der Frequenzgang wird in Ordnung sein, denn wenn sich alle Pole in der linken Halbebene befinden, gibt es keine Pole auf der $j\omega$ -Achse (oder rechts von ihm). Betrachtet man es im Zeitbereich, so hat jeder (einfache) Pol einen Beitrag von $e^{s_{\infty}t}$ zur Impulsantwort des Systems. Befindet sich der Pol in der linken Halbebene, bedeutet dies, dass $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ hat einen negativen Realteil $\sigma_{\infty}<0$ . So

e^{s_{\infty} t} = e^{σ_{\infty}} e^{j ω_{\infty}}

$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$

ist eine exponentiell gedämpfte Funktion und wächst nicht, sondern zerfällt, weil $\sigma_{\infty}<0$ .

Frage 3: Gehört diese Frage hierher?

Andere Community-Mitglieder müssen beurteilen, ob diese Frage hierher gehört. Ich denke das tut es. Es ist offensichtlich nicht direkt mit reinem DSP verwandt, aber DSP-Ingenieure müssen sich sehr oft auch vor der AD-Wandlung mit analogen Signalen und Systemen befassen, sodass sie auch mit der kontinuierlichen Systemtheorie vertraut sind. Zweitens waren fast alle DSP-Leute (zumindest diejenigen mit traditionellem Training) mit allgemeinen Signalen und der Systemtheorie vertraut, einschließlich zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme.

Übrigens erhalten Sie für zeitdiskrete Systeme die $\mathcal{Z}$ Transformation anstelle der Laplace-Transformation, und Ihre komplexe Variable heißt jetzt $z$ anstelle von $s$ . Die Variable $D$ , die Sie erwähnt haben, ist als $D=z^{-1}$ und wird hauptsächlich in der Kodierungsliteratur verwendet. Durch seine Definition bezeichnet es ein Verzögerungselement, so dass $D$ für "Verzögerung" (nicht "digital") steht.

Wenn Sie wissen, dass die linke Halbebene der komplexen $s$ -Ebene dem Bereich innerhalb des Einheitskreises der komplexen $z$ Ebene (dh $|z|<1$ ) und die $j\omega$ Achse dem Einheitskreis $|z|=1$ , dann wird fast alles, was Sie über eine der beiden Domänen wissen, leicht auf die andere Domäne übertragen.

— Matt L.
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Ich denke, dass der Frequenzgang eine komplexe Konjugation zusätzlich zu s in H (s) für s = jω beinhaltet.

— Val

Eine Sache, die mir wirklich geholfen hat, Pole und Nullen zu verstehen, ist, sie als Amplitudenoberflächen darzustellen. Einige dieser Diagramme finden Sie in A Filter Primer . Einige Notizen:

Es ist wahrscheinlich einfacher, zuerst die analoge S-Ebene zu lernen und dann, nachdem Sie sie verstanden haben, zu lernen, wie die digitale Z-Ebene funktioniert.
Eine Null ist ein Punkt, an dem die Verstärkung der Übertragungsfunktion Null ist.
Ein Pol ist ein Punkt, an dem die Verstärkung der Übertragungsfunktion unendlich ist.
Oft gibt es Nullen oder Pole im Unendlichen, die nicht immer in den Beschreibungen der Übertragungsfunktion enthalten sind, aber zum Verständnis erforderlich sind.
Der Frequenzgang in der S-Ebene verläuft nur entlang der jω-Achse.
- Der Ursprung ist 0 Hz oder Gleichstrom, und die Grenzfrequenz von Filtern nimmt radial vom Ursprung weg zu. Wenn Sie einen Pol an einer beliebigen Stelle entlang eines Kreises in einem bestimmten Abstand vom Ursprung platzieren, wird die gleiche Grenzfrequenz erzeugt.
- Bewegen Sie die Pole radial nach außen, um die Grenzfrequenz eines Filters zu erhöhen.
- Um die Güte eines Biquad-Filters zu erhöhen, bewegen Sie die Pole entlang des Kreises in Richtung der jω-Achse, wodurch die Grenzfrequenz konstant bleibt, aber die Auswirkung des Pols auf den Frequenzgang erhöht wird, wodurch er "spitzer" wird.
Wenn auf der jω-Achse eine Null erscheint, fällt der Frequenzgang bei dieser Frequenz auf Null ab. Wenn Sie eine Sinuswelle mit dieser Frequenz eingeben, ist der Ausgang 0.
Wenn ein Pol auf der jω-Achse erscheint, ist die Impulsantwort ein Oszillator. Jeder Impuls lässt es für immer bei dieser Frequenz klingeln. Impulse haben eine endliche Energie, aber die Reaktion des Filters hat eine unendliche Energie, also eine unendliche Verstärkung.

Ein einfaches Beispiel ist ein Integrator H (s) = 1 / s:

Diese Funktion ist gleich 0, wenn s unendlich ist. Sie hat also eine Null im Unendlichen.
Diese Funktion ist gleich unendlich, wenn s Null ist, also hat sie einen Pol bei Null.

Mit anderen Worten, es hat eine unendliche Verstärkung bei Gleichstrom (die Sprungantwort eines Integrators nimmt für immer zu), und die Verstärkung nimmt mit zunehmender Frequenz ab:

Bode-Plot des Integrators

Wenn Sie den Pol vom Ursprung weg entlang der imaginären Achse in die linke Hand der S-Ebene bewegen, wird die Verstärkung auf der jw-Achse wieder auf 0 Hz begrenzt. Jetzt haben Sie einen Tiefpassfilter:

Bildbeschreibung hier eingeben

— Endolith
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s

$s$

s = 0

$s=0$

σ^{2} + ω^{2} = c o n s t

$\sigma^2+\omega^2=const$

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$

Er scheint die S-Ebene mit der Z-Ebene zu verwechseln

— Val

@MattL .: Hmmm. Ich denke an die Pole eines Butterworth-Filters N-ter Ordnung, die sich zum Beispiel entlang eines Kreises befinden, der vom Ursprung gleich weit entfernt ist, oder an die Pole eines Biquads, die sich entlang eines Kreises bewegen, der vom Ursprung gleich weit entfernt ist, während Sie das Q des Filters einstellen die Frequenzkonstante oder die Änderung des Cutoffs eines Filters, indem die Pole in radialer Richtung näher an den Ursprung heran oder von diesem weg bewegt werden, oder die Umwandlung von Tiefpass in Hochpass durch Umkehren der Pole um den Einheitskreis. Wie soll ich das umformulieren?

— Endolith

@Val: Cutoff - Frequenz. Ich habe den Beitrag bereits bearbeitet, um ihn zu korrigieren.

— Endolith

Val, ich brauche keinen douchy snarky Kommentar zu @endolith.

— Spacey

$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ $e^{-jw}$ $z$

y_{n} + a_{1} y_{n - 1} + a_{2} y_{n - 2} + \dots = b_{0} x_{n} + b_{1} x_{n - 1} + b_{2} x_{n - 2} + \dots,

$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$

Y (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)}{(1 + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)} X (z) = H (z) X (z) = \frac{(1 - z_{0} z) (1 - z_{1} z) \dots}{(1 - p_{0} z) (1 - p_{1} z) \dots} X (z) .

$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$

$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

$H(z)X(z)$ $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ $b_0=b_1=1$ $y_n = x_n + x_{n-1}$

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w}) = X (z) .

$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$

y_{n} = x_{n} + x_{n - 1} |_{x_{n} = e^{j w n}} = e^{j w n} + e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (1 + e^{- j w})

$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$

1 + e^{- j w}

$1+e^{-jw}$

Y (z) = \frac{(1 + z)}{(1 - e^{j w} z)} = (1 + z) X (z)

$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$

$1+z$ $z$

$H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$

{\begin{cases} w = 0 & \Rightarrow & H (j 0) = 1 \cdot 2 \cos (0) = 2 \\ w = π & \Rightarrow & H (j π) = e^{j π / 2} 2 \cos (π / 2) = 0 \end{cases}

$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$

$2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$

$y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$ $w=0$ $sin(0)=0$

H (j w) = 1 - e^{- j w} = 0 \Rightarrow e^{- j w} = 1 = e^{0} \Rightarrow w = 0.

$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$

$H(z) = 1\pm z$ $H(jw)=1\pm e^{-jw}$ $e^{-jw}$

$y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ $\pm$ $1\pm z=0$ $e^{jwn}$ $e^{jw(n-1)}$ $e^{jw}$ $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ $1\pm e^{-jw}$ $1\pm z=0$

$y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$

Y (z) = (b_{0} + b_{1} z) X (z) = (b_{0} + b_{1} z) (1 + x_{1} z + x_{2} z^{2} + \dots) = b_{0} + (b_{0} x_{1} + b_{1} x_{0}) z + (b_{0} x_{2} + b_{1} x_{1}) z^{2} + \dots .

$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$

b_{0} + b_{1} z = 0

$b_0+b_1 z = 0$

z = - b_{0} / b_{1},

$z=-b_0/b_1,$

y_{n} (x_{n} = e^{j w n}) = b_{0} e^{j w n} + b_{1} e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (b_{0} + b_{1} e^{- j w}) = e^{j w n} b_{0} (1 - z_{0} e^{- j w}),

$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$

$1-z_0 e^{-jw} = 0$ $e^{-jw} = 1/z_0$ $z$ $z=e^{-jw}$ $1/z_0= e^{-jw}$ $w$ $w$ $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

$a$ $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$ $y_0 = 0$ $Y(z) = X(z)/(1-az)$

$a$ ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$ $z=1/a$

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} X (z) = 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w} z)

$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$

Y (z) = \frac{1}{1 - a z} \frac{1}{1 - e^{j w} z},

$Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$

y_{n} = e^{j w n} + a e^{j w (n - 1)} + a^{2} e^{j w (n - 2)} + \dots = e^{j w n} (1 + a e^{- j w} + a^{2} e^{- 2 j w} + \dots) = \frac{e^{j w n}}{1 - a e^{- j w}} .

$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$

1 / (1 - a e^{- j w}),

$1/(1-ae^{-jw}),$

e^{- j w} = 1 / a,

$e^{-jw}=1/a,$

z_{p o l e}

$z_{pole}$

e^{- j w} = z_{p o l e} = 1 / a

$e^{-jw}=z_{pole}=1/a$

1 / a

$1/a$

w

$w$

(k e^{j w})^{n}

$(ke^{jw})^n$

$H(z)$ $H(jw)$ $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ $e^{jwn}$ $a$ $e^{jw}$ $z_{poles}$ $e^{jwn}$ $k^n$

Ich würde mich freuen, wenn jemand das konsequenter oder klarer erklären könnte.

— Valentin Tihomirov
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